Автор Тема: Теория паритетов  (Прочитано 3876 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Isaev

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 328
  • Пол: Мужской
Теория паритетов
« : 30 Декабря 2017, 17:20:43 »
Так как это довольно обширная тема, решил вынести в отдельную ветку.
Обстановка в мире кубинга в этой теме довольно грустная, у кого не спросишь или бред несут, сами не понимая сути, либо отвечают очень обобщенно (может по той же причине).
Кому не сложно поделитесь природой этого явления в шарнирных головоломках (а так же с математической точки зрения и теории групп), а так же принципами их решения. Как их можно классифицировать и как безошибочно распознавать, чтобы не путать с обычными коммутаторами, часто визуально похожими, но не имеющими никакого отношения к паритетам.
Ну и можно примеры известных вам (или новых встретившихся) случаев так же тут постить, в качестве наглядных примеров и обсуждать различные варианты их разрешения.

Ссылки по теме:
« Последнее редактирование: 15 Февраля 2018, 20:23:20 от Isaev »

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 547
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #1 : 30 Декабря 2017, 19:55:58 »
В современной кубологии отсутствуют многие популярные виды паритетов (Void-, PLL-, OLL- и другие), а рассматриваются только пять видов паритетов, связанные с возникновением ситуации с одиночной неправильно расставленной парой элементов на одной или нескольких орбитах. Ситуации с возникновением неправильно развернутых одиночных элементов относят к остаточным поворотам и "паритетами" называют только в разговорной речи.  Остаточных поворотов существует тоже пять разновидностей, и называются они так же, как и соответствующие им разновидности паритетов.

1) Простой паритет - возникает на одной из орбит головоломки, из-за того, что возможные ее повороты сами являются поставщиками нечетных перестановок (например, 4-циклов).

Примеры:
Void куб, так как возможен 4-цикл среднего слоя.
2x2 куб, так как поворот грани на 90 градусов это 4 цикл углов.
4x4 куб, так как поворот внутреннего слоя на 90 градусов является 4-циклом ребер, а центров при этом переставляется 8 штук - четная перестановка по отношению к центрам (два раза по четыре).

2) Составной паритет - возникает одновременно на нескольких орбитах и не может возникнуть на одной из них по отдельности.

Пример:
Лямбда, параллельный перенос, T-перм и другие пермы куба 3x3, которые включают в себя перестановку двух ребер и двух углов. 2+2 перестановка центров геликоптера на разных орбитах. Паритет куба 5x5 (пара боковых ребер и незаметно пара средних центриков), и т.д.

3) Редукционный паритет - возникает при невозможности решить ситуацию с помощью ограниченного набора ходов, требуется временный возврат в пространство расширенного набора ходов, из которого вышли после прохождения этапа редукции.

Примеры:
"PLL-паритет" куба 4х4 является всего лишь редукционным, а не истинным или простым паритетом. Может быть решен при помощи коммутатора, но на практике решается за 7 ходов с подменой неразличимых центров, что проще и быстрее.
Перестановка 2-x центров при помощи джамблинга в геликоптер кубе. Когда из пространства расширенных джамблингом ходов намеревались окончательно выйти после приведения пазла к кубической форме, но пришлось опять возвращаться.

4) Целевой паритет - когда пытаются собрать узор, который требует нечетное число простых 2-перестановок.

Пример:
Можно устроить и пронаблюдать даже у тех головоломок, у которых "никаких паритетов нет". Рубик 3x3, Мегаминкс.

Также возникает при попытке собрать, например, Flower Copter, так как у него нет ни одного элемента, зафиксированного на месте, и всю цветовую схему можно невзначай повернуть вокруг куба на 90 град. Это будет сначала незаметно, но потом проявится паритет.

5) Кажущийся паритет - возникает из-за неразличимости некоторых элементов. Визуально кажется, что нужно поменять местами два элемента, но на деле требуется 3-цикл или 2+2 перестановка элементов одной орбиты. Чаще всего истинный паритет (простой или сложный) путается именно с кажущимся паритетом.

Пример: перестановка 2-х центриков в кубе 5x5 - кажущийся паритет.

Другой интересный пример: У Мастер Миксап куба появляется столько центров, что некоторые из них являются двойниками ребер, хотя и другой формы. Поэтому в Мастер Миксап кубе паритет является кажущимся, в отличие от младших версий миксапов. И решается он коммутаторами.
 
« Последнее редактирование: 31 Декабря 2017, 20:01:12 от ramon13 »

Оффлайн Isaev

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 328
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #2 : 30 Декабря 2017, 20:44:33 »
ramon13, отличное вступление! Значит T-Perm в трёшке это таки паритет, чем он и кажется? А как же распространенное утверждение, что классический куб 3х3х3 не имеет паритетов?
Ведь это не чистая 2+2 перестановка, а с разворотом центра. Имеет ли она право называться паритетом?
« Последнее редактирование: 30 Декабря 2017, 20:51:36 от Isaev »

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 547
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #3 : 30 Декабря 2017, 21:22:26 »
T-перм это самый настоящий составной (сложный) паритет. Он составлен из свапа ребер, свапа углов и остаточного поворота центра на 90 град (если отслеживать ориентацию ценров).

2+2 перестановкой его называть не стоило бы, так как коммутатором ее не взять, ибо обменяв пару ребер мы не можем поставить на их место углы и откатить. Орбиты ребер и углов - разные.

Часто можно слышать что T-перм или лямбда не являются паритетами, так как их можно легко полечить поворотом на 90 град. Это неправильно, так как поворотом мы меняем четность состояния всей головоломки, то есть в принципе решаем этот паритет, хотя и грязно.

Для пущей убедительности можно вспомнить паритет Багуа. Он имеет такую же структуру, что и T-перм, только остаточный поворот на 45. На кубе с глазками инь-янь этот остаточный поворот хорошо заметен. Это очень серьезный и сложный в решении, паритет, назвать его ненастоящим уж никак нельзя.

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 547
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #4 : 31 Декабря 2017, 08:57:12 »
В своем введении я говорил о том, когда паритеты возможны, не уточнив, когда они возникают. Пусть у нас есть поворот, который осуществляет нечетную перестановку некоторых элементов (например, 2-свап, 4-цикл, 6-цикл, 8-цикл) на одной из орбит или на нескольких сразу. Тогда четность состояния головоломки с каждым таким поворотом меняется на противоположную - чет, нечет, чет, нечет. Если к заключительному состоянию мы пришли за нечетное число поворотов, меняющих четность, возникает паритет - необходимость произвести преобразование, неосуществимое при помощи коммутаторов.

Чтобы избавиться от паритета в конкретной головоломке, сначала нужно выявить поворот, меняющий четность. Заодно мы сможем исключить кажущийся паритет, который имеет не математическую, а визуальную природу.

После выявления поворота, который меняет четность, для устранения паритета на первых порах достаточно сделать этот поворот еще раз и пересобрать головоломку. Паритет больше не возникнет (если не напортачить). Разработка специальной формулы для решения паритета это уже вопрос следующего этапа.

Повороты, меняющие четность:
куб 3х3 - это поворот грани на 90 или поворот среднего слоя на 90;
миксап - поворот среднего слоя на 45;
багуа - поворот грани на 45;
...

Таким образом, в кубе 3х3 есть два составных паритета:
1) ребра плюс углы;
2) ребра плюс 4-цикл центров.

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 547
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #5 : 31 Декабря 2017, 09:30:33 »
4-цикл+2 паритет в кубе 3x3:



Современная теория паритетов, развиваемая в англоязычных источниках, не привязывает их к кубу 3x3 или невозможности решить что-то как в кубе 3х3. Наоборот, сам куб 3х3 становится носителем некоторых паритетов.

С 4-цикл+2 паритетом связан известный розыгрыш. Стоит переставить крышечки куба по кругу, как в нечетном кубе возникает паритет в куберском смысле. Особенно эффектно смотрится на больших кубах, так как трудно предположить, что его специально разбирали и что-то переставляли. А переставляли всего лишь крышечки, сам куб не развинчивая.
« Последнее редактирование: 31 Декабря 2017, 18:27:34 от ramon13 »

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 547
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #6 : 31 Декабря 2017, 19:57:36 »
Кстати, в мегаминксе нет ни лямбды, ни Т-перма, что лишний раз доказывает - это паритеты куба 3х3.

Зато в мегаминксе есть остаточный поворот центра на угол кратный 72 град., а в 3х3 - только на 180.

Оффлайн Isaev

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 328
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #7 : 31 Декабря 2017, 20:12:19 »
Хм, это интересное наблюдение, мегаминкс с ориентированными центрами не приходилось собирать)

Оффлайн Леннон

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1 233
  • Пол: Мужской
  • Спящий.
Re: Теория паритетов
« Ответ #8 : 31 Декабря 2017, 22:36:12 »
Наверное это можно рассматривать как перестановка элементов, вокруг одного центра.

Например в 3*3*3 возможен разворот 1 центра на 180.

Можно это рассматривать с иной стороны, как результат перестановки 2 пар уголков, и 2 пар рёбер, вокруг этого центра. Плюс один лишний поворот слоя на 180.
Они - поменяны местами, каждый кубик поменялся местом с противоположным.
Но при этом их взаимное расположение осталось правильным.

Поворот центра на 72 в мегаминксе, тоже можно рассматривать иначе: 5 уголков поменялись местами, и 5 ребер поменялись местами. Плюс лишний поворот слоя на 72.



///////////////////////
С новым годом!
F R U L D * 252

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 547
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #9 : 31 Декабря 2017, 23:20:53 »
Без лишнего поворота в формуле остаточный поворот не получить.

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 547
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #10 : 01 Января 2018, 09:10:59 »
Цитировать
Например в 3*3*3 возможен разворот 1 центра на 180. Можно это рассматривать с иной стороны, как результат перестановки 2 пар уголков, и 2 пар рёбер, вокруг этого центра. Плюс один лишний поворот слоя на 180.

Рассматривать и анализировать так, конечно, можно. Но можно сделать скажем T- перм два раза, и остаточный поворот 180 чудесно набежит за два поворота по 90.

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 547
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #11 : 02 Января 2018, 11:10:33 »
Целевой паритет в мегаминксе. Шахматки не хотят собираться. Как это исправить?)


Оффлайн Isaev

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 328
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #12 : 02 Января 2018, 11:24:52 »
Шахматки не хотят собираться. Как это исправить?)
перераспределением цветов... противоположные не соберутся, бери соседние.
Странный вопрос от тебя, ты же сам рассказывал, как чётность считается в паттернах вроде)
« Последнее редактирование: 02 Января 2018, 11:35:33 от Isaev »

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 547
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #13 : 02 Января 2018, 11:35:25 »
А можешь объяснить, почему противоположные не собираются? У рубика 3х3 собирается ведь...
« Последнее редактирование: 02 Января 2018, 11:37:00 от ramon13 »

Оффлайн Isaev

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 328
  • Пол: Мужской
Re: Теория паритетов
« Ответ #14 : 02 Января 2018, 11:38:30 »
потому, что чётная перестановка в нём невозможна. (чёт/нечет могу путать, но смысл ты понял)