Автор Тема: Рассуждение о кубике 2*2*2  (Прочитано 7675 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Леннон

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1 089
  • Пол: Мужской
  • Спящий.
Рассуждение о кубике 2*2*2
« : 10 Октября 2014, 19:30:36 »
Недавно удалось увидеть следующее число - 3'674'160.

Это число возможных состояний двушки, исходящее из комбинаторики. Немалое число, но если подумать... то не слишком большое :)
Гораздо меньше, чем например у 3*3*3 (там число вовсе астрономического порядка)

Предположим что некто, будет вращать двушку наугад, каждый день, в течении одного часа, в темпе 1 об/сек.

Сколько времени понадобится, чтобы однажды всё-таки собрать двушку? Поскольку это зависит от вероятностей, то однозначный ответ дать трудно, а вот приблизительную оценку - можно.

Каждый день, таким образом некто сможет просмотреть до 3600 позиций. Есть небольшая вероятность того, что некоторые позиции успеют показаться дважды, трижды (в том числе позиции, полученные вчера, позавчера...)... потому за день удастся увидеть не все 3600 новых позиций, а меньше.

Среди этих позиций, правильная всего одна, а следовательно вероятность её встретить, после разового поворота - 1/3674160 - немногим больше нуля.
Вероятность её избежать, будет равна соответственно 3674159/3674160 = ~ 0,999999727 т.е. почти единица, но всё-таки чуть меньше единицы (и это важно).
Обозначим её - x.
(сумма двух вероятностей =1)

Если повернуть двушку n-ное число раз, то вероятность "поймать" правильную позицию, будет увеличиваться, (если не ошибаюсь) по формуле 1 - x^n (икс в энной степени).

После одного поворота  ~ 0,000000272 (околонуль)
Через 1 день                   ~ 0,000979 (примерно 0,1%)
Через 10 дней                 ~ 0,00975 (почти 1%)
Через 100 дней               ~ 0,0933 (9%)
Через 1 год                      ~ 0,3007 (30%)
Через 2 года                    ~ 0,5109 (1/2)
Через 4 года                    ~ 0,7608 (3/4)
...через 10 лет  :)            ~ 0,972 (97,2%).

В общем, получается что за 10 лет, уделяя час времени каждый день, вращая кубик случайным образом (хоть вслепую), и соблюдая темп 1 об/сек, вполне можно почти наверняка его решить, хотя бы однажды :)

Скорее всего двушка решится целых два или три раза, может даже четыре раза... или (если совсем не прёт) - с вероятностью, в 2,8% она вовсе не решится ни разу.

Стоит ли проверять это на практике ??? Нет, не стоит.
Т.к. занятие практически бесполезное.
Трата времени и нервов гарантированны. Азарт от ловли единственно верной комбинации слишком сомнительный.
Да и сама двушка, такого напряга, может не выдержать, и самоуничтожится  :D

Но вывод, всё-таки получается следующий:
При числе возможных состояний, около 3,64 млн, двушку вполне можно решить даже случайно, вращая наугад :)
F R U L D * 252

Оффлайн ecuber

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 565
  • Пол: Мужской
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #1 : 10 Октября 2014, 20:48:50 »
У меня был случай,вижу лежит на полке 2х2х2 разобранный, аж пылью слегка покрылся .Ну думаю дети разобрали,а собрать не смогли.Так я его чисто случайно  решил сделав  3 поворота .
Не нужно быть важным,ВАЖНО быть НУЖНЫМ.

Оффлайн grigr

  • Глобальный модератор
  • *****
  • Сообщений: 2 762
  • Пол: Мужской
  • кручу-верчу
    • Мой Магазин
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #2 : 10 Октября 2014, 22:55:35 »
была новость: какой-то чудак 30 лет крутил треху и вдруг собрал ;)

Оффлайн Леннон

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1 089
  • Пол: Мужской
  • Спящий.
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #3 : 11 Октября 2014, 11:37:50 »
Цитата:

"45-летнй британец Грэм Парк  после 26 лет беспрерывных усилий, наконец, собрал кубик Рубика.

Свой кубик Рубика Парк купил еще в 1983 году. В общей сложности он провел над головоломкой 27 тысяч 400 часов.

Кубик Рубика стал для Парка настоящим наваждением. В течение многих лет британец не мог спокойно спать, мучаясь над головоломкой.

Парк даже приобрел "профессиональные" болезни кисти и спины. Кубик едва не разрушил его семейную жизнь: брак неоднократно стоял на грани распада.

Друзья предлагали Парку свою помощь. Кроме того, он сам прекрасно знал, что решение головоломки можно найти в интернете, однако главным для него было собрать кубик Рубика самому.

Когда ему это удалось, Парк, по его собственным словам, разрыдался. Отмечается, что он поставил своеобразный антирекорд по самому долгому собиранию кубика Рубика...."


Но всё-таки за 26 лет борьбы, он извлекал для себя некоторые уроки, а потому его шансы стали немного выше  :)

А вот если вертеть 3*3*3 совсем наугад...

х = 43 252 003 274 489 855 999/43 252 003 274 489 856 000 = 0,9999999999999999999768796836148

Возьмем n = 27 400 ч. (это около 3 лет непрерывного вращения) = 98'640'000 секунд, предположим темп равен 1 об/сек.

Тогда 1 - х^n = -2,2805880083124394591946553046483e-12 = 0,000'000'000'002'28,  величина как видим ничтожно маленькая, это даже не один на миллион, а потому в течении 3х лет, кубик случайно не соберётся :)

100 лет непрерывного вращения = ~ 3'155'760'000 сек.

1 - x^n = 0,000'000'000'0729 - немногим больше предыдущей, не соберётся.

Миллион лет...

1 - x^n = 0,000'000'729 - чуть выше но всё равно дело плохо... шанс собрать кубик, в прямом смысле, один на миллион.



А вот если немного "считерить", и научиться собирать 2 слоя из 3х, то шансы собрать 3*3*3 станут повыше - 1/15552. Не густо, но и не совсем пусто.

Проделав 10 тыс сборок, шанс получить одну, завершённую до конца равен... 47,4 % :) Люди, собравшие кубик тысячи раз наверное подтвердят что изредка у них выпадал LL-skip.
F R U L D * 252

Оффлайн sm

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 184
  • Пол: Мужской
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #4 : 11 Октября 2014, 12:38:36 »
А вот если немного "считерить", и научиться собирать 2 слоя из 3х, то шансы собрать 3*3*3 станут повыше - 1/15552. Не густо, но и не совсем пусто.

Проделав 10 тыс сборок, шанс получить одну, завершённую до конца равен... 47,4 % :) Люди, собравшие кубик тысячи раз наверное подтвердят что изредка у них выпадал LL-skip.
Абсолютно верный расчет.
У меня за всю мою куберскую карьеру (уже наверно больше 5 лет) на кубике 3х3х3 около трех раз выпадало после сборки 2-х слоев, так что третий слой был уже собран, только возможно оставалось довернуть его сделав U, U' или U2.

Просто я просил Евгения в личке высчитать вероятность выпадения такого случая, вот его расчеты:
15552 позиции  :)
Достаточно редко, но выпадает, остаётся только поправить слой (U/U'/U2).

Делая по 30 сборок в день, за 5 лет можно накрутить около 50-55 тыс. сборок, и три-четыре из них окажутся вот такими удачными  :)

Оффлайн Леннон

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1 089
  • Пол: Мужской
  • Спящий.
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #5 : 11 Октября 2014, 13:01:18 »
Число 15552 взялось отсюда  :)

4! * 3^3 * 4! * 2^3 * 1/2 * 1/4 = 24 * 27 * 24 * 8  * 0,5 * 0,25 = 15552

Где 4! и 4! - число возможных перестановок среди углов и ребер.

3^3 - число возможных разворотов уголков.
2^3 - число возможных разворотов ребер.

1/2 - учёт паритета (позиции в которых суммарное число перестановок нечётно, для 3*3*3 недоступны, а таких - 1/2 от общего числа).

1/4 - учёт того, что за счёт доворота (U/U2/U') - число позиций можно сократить вчетверо. Правильных позиций либо одна из 15552, либо 4 из 62208.
F R U L D * 252

Оффлайн grigr

  • Глобальный модератор
  • *****
  • Сообщений: 2 762
  • Пол: Мужской
  • кручу-верчу
    • Мой Магазин
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #6 : 11 Октября 2014, 13:58:37 »
Именно поэтому я не особо поверил тому типу который 26 лет кубик крутил…
За это время по любому выстроилась бы хоть какая то схема сборки

Оффлайн sm

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 184
  • Пол: Мужской
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #7 : 11 Октября 2014, 18:43:55 »
Именно поэтому я не особо поверил тому типу который 26 лет кубик крутил…
За это время по любому выстроилась бы хоть какая то схема сборки
Ага, меня тоже смущает этот антирекорд, т.к. кубик он думаю вращал не случайным образом.
Я изначально тоже ставил цель собрать кубик самостоятельно, не применяя никаких инструкций и теорий, и даже при таком подходе мне где-то через месяц удавалось несколько раз довести его до состояния когда оставалось только 2 недовернутых угла или ребра, и все рушилось при попытке их переворота.

Вспомнилась, следующая картина:

Может у него кубик рубика был только прикрытием?! ;D

Или это был дальтоник пессимист, в отличии от дальтоника Васи???


В общем любят они делать шоу и рекламу, на всем чем можно. "Не верю!" ;)

Оффлайн grigr

  • Глобальный модератор
  • *****
  • Сообщений: 2 762
  • Пол: Мужской
  • кручу-верчу
    • Мой Магазин
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #8 : 11 Октября 2014, 19:06:25 »
думаю банальный пиар. к тому же кроме его слов никак не докажешь сей "рекорд"

Онлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #9 : 25 Сентября 2015, 14:27:09 »
Интересная задачка...
Каждый день, таким образом некто сможет просмотреть до 3600 позиций.
Каждый час

Если повернуть двушку n-ное число раз, то вероятность "поймать" правильную позицию, будет увеличиваться, (если не ошибаюсь) по формуле 1 - x^n (икс в энной степени).
Возможно и правда близко к (1-x)^n , но вообще ваши рассуждения неправильны
Тут дело в том, что если у него есть неккая позиция, то он не равновероятно получает любую другую позицию, а всего лишь равновероятно одну из 6ти

Саму задачу я бы переформулировал так:
Сколько в среднем поворотов потребуется для сборки (матожидание числа поворотов)
  1. Для каждой конкретной позиции
  2. Среднее пункта 1 для всех позиций

Вот например, если он ограничен только вращением одной грани, то позиций всего 4 и ответ на п1 будет 0, 3, 4, 3, а на п2 их среднее арифметическое 2.5

Вот не знаю как называется аналог числа бога, но для позиции. то есть минимальное число ходов, за кторую эту позицию можно решить. Пусть будет "число бога позиции". Так вот: вижу, что любой ход обязательно изменяет это число. То есть если в позиции требуется k ходов для ее сборки, то , сделав 1 поворот, это число обязателньо изменяется на k+1 или на k-1 То есть с каждым случайным поворотом мы или приближаемся к решению или удаляемся от него, но никогда не стоим на месте К сожалению, это не единственное условие, которое мне пока нужно, чтобы задача была подъемной, а второе уже заметил, не выполняется

ЗЫ видел, несколкьо лет назад на scitechlibrary народ считал число бога для двушки. Не принимал там участие, но надо бы найти ту тему...

PPS Кстати, в вашем случае (если из любой позиции равновероятно в другую) матожиданиие числа поворотов до сборки из любой несобранной позиции ,если я не ошибся щас, равно просто n/2 где n - число всех позиций нет, ошибся, тля n=3 дб 2, а не 1.5
« Последнее редактирование: 25 Сентября 2015, 14:52:41 от Zatamon »

Оффлайн Леннон

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1 089
  • Пол: Мужской
  • Спящий.
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #10 : 25 Сентября 2015, 17:43:19 »
Возможно и правда близко к (1-x)^n , но вообще ваши рассуждения неправильны
Тут дело в том, что если у него есть неккая позиция, то он не равновероятно получает любую другую позицию, а всего лишь равновероятно одну из 6ти

А, да. Подсчёт был грубый. Скобки иначе, 1 - (X^n)
Имелось ввиду что 2*2*2 - имеет "всего лишь" около 3,7 млн позиций.
Соответственно, если его повернуть миллионы раз (чисто наугад) - велики шансы что он соберётся.
F R U L D * 252

Онлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #11 : 25 Сентября 2015, 18:40:06 »
Ну, смотря что считать x и смотря что считать
Вообще вот нашел тему, где число бога для двушки считали:
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1323347046
говорят, что 11 в предположении что поворот на 180 градусов это 1 ход (а я считаю это 2 хода) и 14 в моем предположении
Да насчет:
Кстати, в вашем случае (если из любой позиции равновероятно в другую) матожиданиие числа поворотов до сборки из любой несобранной позиции ,если я не ошибся
На такое матожидание уравнение x=1+(n-2)x/(n-1) и отсюда оно равно n-1 То есть, если следующая позиция равновероятна (а не одна из 6ти возможных, ак на самом деле), то в среднем потребуется на 1 ход меньше, чем число позиций

Оффлайн Philipp

  • Администратор
  • *****
  • Сообщений: 1 962
  • Пол: Мужской
  • С Администратором лучше не спорить.
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #12 : 26 Сентября 2015, 09:09:55 »
По той теме ясно, что отрыв в сложности вычисления числа бога для двушки и трёшки невероятно отличны.
Тогда понятно, что не слышно про попытки вычислить его для даже четвёрки.

Оффлайн Леннон

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1 089
  • Пол: Мужской
  • Спящий.
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #13 : 26 Сентября 2015, 14:20:02 »
А по КХ на четверке сколько ходов получалось, кто-нибудь в курсе? Может, как-то приблизительное число можно вычислить?
F R U L D * 252

Оффлайн Леннон

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1 089
  • Пол: Мужской
  • Спящий.
Re: Рассуждение о кубике 2*2*2
« Ответ #14 : 26 Сентября 2015, 16:34:11 »
А вот кстати нашёл:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BA%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A0%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BA%D0%B0#cite_note-rokicki_lb-77
Получается что для 4*4*4 известно в каком примерно диапазоне находится число бога.

Ссылка под номером 77 - оценка "чисел бога" для кубов от 2*2*2 до 20*20*20 (разные метрики). Н-р для 2*2*2 и 3*3*3 в таблице указаны уже знакомые числа - 11 и 21.
http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/236
F R U L D * 252