Автор Тема: Задачи с кубиком Рубика  (Прочитано 7169 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Задачи с кубиком Рубика
« : 02 Февраля 2016, 00:22:23 »
Сочинил на досуге вот такую незадачу.

Задача 1. Два друга Петя и Вася были страстными любителями кубика Рубика.
Однажды у Пети рассыпался кубик Рубика 3х3х3 и он случайным образом собрал его детали в полнофункциональную головоломку.


Вася же на своём кубике переклеил все наклейки в случайном порядке.

Как известно, не всякий кубик собирается. Поэтому возникает вопрос, вопросы:
1). У кого из мальчиков вероятность собрать свой кубик Рубика выше, чем у его друга.
2). Чему равна вероятность сборки каждого кубика?
Собранным считается кубик, у которого все грани одного цвета.

Картинок для иллюстрации насобирал в интернете.



« Последнее редактирование: 03 Февраля 2016, 17:22:08 от Николай »
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #1 : 02 Февраля 2016, 03:39:52 »

1). У кого из мальчиков вероятность собрать свой кубик Рубика выше, чем у его друга.
А в чем вопрос-то? Понятно у кого, просто из соображений, что запутывание одного - частный случай запутывания другого (то же запутывание, но с ограничениями)
2). Чему равна вероятность сборки каждого кубика?
В одном случае 1/12 в другом, думать надо

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #2 : 02 Февраля 2016, 07:44:39 »
Согласен с Вами, уважаемый Zatamon!
Пункт 1) - действительно легко! Я даже выше написал, что придумал незадачу!
Хотя здесь не всё так просто, как Вы считаете. Дело в том, что хотя Вы правильно заметили, что что запутывание одного - частный случай запутывания другого (то же запутывание, но с ограничениями), но во втором случае появляется возможность собирать кубики нестандартной раскраски, что повышает вероятность сборки.
Вероятность в первом случае равна 1/12 - это достаточно известный факт.
Во втором случае всё значительно интересней! И тоже согласен с Вами, что надо думать!
Всего доброго!
« Последнее редактирование: 03 Февраля 2016, 07:50:10 от Николай »
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #3 : 02 Февраля 2016, 07:53:25 »
Согласен с Вами, уважаемый Zatamon!
Пункт 1) - действительно легко! Я даже выше написал, что придумал незадачу!
Хотя здесь не всё так просто, как Вы считаете. Дело в том, что хотя во втором случае возможно собирать кубики нестандартной раскраски, что повышает вероятность сборки.
Вероятность в первом случае равна 1/12 - это достаточно известный факт.
Во втором случае всё значительно интересней! И тоже согласен с Вами, что надо думать!
Всего доброго!
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #4 : 02 Февраля 2016, 08:09:14 »
но во втором случае возможно собирать кубики нестандартной раскраски, что повышает вероятность их сборки.
Согласен, ерунду написал. Но вот другая оценка:
Вероятность того, что на 6 центральных элементов лягут 6 разных цветов (а без этого он не решится) равна понятно какому произведению (1*45/53*36/52*27/51*18/50*9/49).  Уже последние 2 члена этого произведения уже дают чуть меньше 1/12

А вообще самая сложная часть вряд ли как-то прсто решается. Число вариантов 54!/(8!)^6  (это если считать разными раскраски, совмещаемые поворотами всего куба, но число таких поворотов невелико, так что..) - астрономическое число

Теоретически, конечно, можно попробовать помонтекарлить...
« Последнее редактирование: 02 Февраля 2016, 08:12:41 от Zatamon »

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #5 : 02 Февраля 2016, 09:18:57 »

А вообще самая сложная часть вряд ли как-то прсто решается. Число вариантов 54!/(8!)^6  (это если считать разными раскраски, совмещаемые поворотами всего куба, но число таких поворотов невелико, так что..) - астрономическое число
Мда, опять глупость написал
Пусть число всех возможных позиций на кубике не помню сколько =K
Тогда для каждой раскраски центральных элементов (коих 6!) суммарное число возможных состояний K*6!
или ито ли еще на что-торазделить или умножить деленное на вышеупомянутое 54!/8!^6 - нужная вероятность. Надо додумать ешще

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #6 : 02 Февраля 2016, 09:36:41 »

А вообще самая сложная часть вряд ли как-то прсто решается. Число вариантов 54!/(8!)^6  (это если считать разными раскраски, совмещаемые поворотами всего куба, но число таких поворотов невелико, так что..) - астрономическое число
Мда, опять глупость написал
Пусть число всех возможных позиций на кубике не помню сколько =K
Тогда для каждой раскраски центральных элементов (коих 6!) суммарное число возможных состояний K*6!
или ито ли еще на что-торазделить или умножить деленное на вышеупомянутое 54!/8!^6 - нужная вероятность. Надо додумать ешще

Да, похоже ам все значительно проще, чем я думал
Эта вероятность равна
8!^6 * K*6!/54! где К - число всех состояний К-Р, и равно оно должно быть... 12!*8!*2^12*3^8/(2*2*3)

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #7 : 02 Февраля 2016, 10:37:10 »
Эта вероятность равна
8!^6 * K*6!/54! где К - число всех состояний К-Р, и равно оно должно быть... 12!*8!*2^12*3^8/(2*2*3)
Чуть облажался
Число всех позиций, которое может сделать второй там надо делитьна 9!^6 а не на 8!^6
Отсюда вся веростность равна
9!^6 * 6!*12!*8!*2^10*3^7/54! вангую, что число это мизерное

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #8 : 02 Февраля 2016, 22:47:24 »
Отсюда вся веростность равна
9!^6 * 6!*12!*8!*2^10*3^7/54! вангую, что число это мизерное

О! Я рад, Zatamon!
У меня такой же ответ!
Только я считал чуть иначе!
Но всё равно, ответы совпадают!
Я хотел убедиться в том, что я правильно решил задачу!
Дело в том, и Вы это знаете, что  в комбинаторике много подводных камней, и можно легко ошибиться в даже простой задачке, если что-то не учесть!
Спасибо, что откликнулись!
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #9 : 03 Февраля 2016, 07:18:16 »
после сокращения просуммировал на компе логарифмы получил
-35,7163209460129
Это логарифм то вероятности


select sum(a) from (
select (ln(column_value)) a
from table(split_strings2(
'9  2  4  6  8  9  2  3  4  2  3  8  9  2  3  4  2  2  2  2  2  2  3  3  3  3' -- Это числитель того, что осталось после сокращения
, '  '))
union all
select -(ln(column_value)) a
from table(split_strings2(
'13 17 19 11 23 13 29 31 11 17 37 19 13 41 43 11 23 47 25 17 13 53' -- Это знаменатель того, что осталось после сокращения
,' '))
)

Зы да не нужно было никакого ручного сокращения с риском ошибиться
select sum(a) from (
select -ln(level) a
from dual connect by level<=54
union all
select 6*ln(level) a
from dual connect by level<=9
union all
select ln(level) a
from dual connect by level<=6
union all
select ln(level) a
from dual connect by level<=12
union all
select ln(level) a
from dual connect by level<=8

union all
select ln(2) a
from dual connect by level<=10
union all
select ln(3) a
from dual connect by level<=7
)

тот же результат
« Последнее редактирование: 03 Февраля 2016, 07:41:03 от Zatamon »

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #10 : 03 Февраля 2016, 07:54:14 »
Какая маленькая вероятность!
Можно сказать почти невероятное событие - собрать кубик после случайной переклейки!
Но до программирования я далек, если не считать Бейсик школьного уровня!
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #11 : 03 Февраля 2016, 17:18:34 »
     Эту задачу с кубиком Рубика, но близкую к школьной тематике, я обнаружил в замечательной книге А.Ю. Эвнина «150 красивых задач для будущих математиков». Оказывается, её предлагали для решения на «Математическом конкурсе в ЮУрГУ».

Задача 2. Через центр кубика Рубика провели плоскость, перпендикулярную его диагонали. Сколько маленьких кубиков пересекла эта плоскость?

 Конечно, в этой задаче подразумевается, что кубик Рубика без своего внутреннего механизма, и состоит из 27 единичных кубиков. Вспомните, как когда в школе Вы строили сечения фигур плоскостью.

« Последнее редактирование: 03 Февраля 2016, 17:21:08 от Николай »
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #12 : 03 Февраля 2016, 17:24:58 »


Задача 2. Через центр кубика Рубика провели плоскость, перпендикулярную его диагонали. Сколько маленьких кубиков пересекла эта плоскость?

 Конечно, в этой задаче подразумевается, что кубик Рубика без своего внутреннего механизма, и состоит из 27 единичных кубиков. Вспомните, как когда в школе Вы строили сечения фигур плоскостью.

19?

Очевидно, она пересекает центральный, самый невидимый кубмк так же, как и весь куб. А чтобы увидть, как она пересекает соседние с центральным - ко всему кубу пристраиваем мысленно соседние такие же кубы. Полчается, что она не пересекает тольок 4 кубика в центре рисунка и очевидно 4 с другой стороны
« Последнее редактирование: 03 Февраля 2016, 17:29:10 от Zatamon »

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #13 : 03 Февраля 2016, 17:58:22 »
Вы правы, Zatamon!!! Молодец!
Я не успеваю подкладывать задачи!!!
Студенты не так решали на конкурсе.
Я решал так: Аккуратно построил сечение этого куба. Очевидно, что сечением кубика 3х3х3 указанной плоскостью является правильный шестиугольник, который закрашен на рисунке.  При этом секущая плоскость будет пересекать маленькие кубики. Их сечения представляют либо маленькие правильные шестиугольники, либо треугольники. Пустот в кубе 3х3х3 нет, значит, секущая плоскость пересекает 7+6*2=19 маленьких кубиков.

Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #14 : 03 Февраля 2016, 22:27:20 »
Задача 3. Гирлянда из квадратов содержит 54 единичных квадрата, которые  приклеены к нитке так, что нить проходит по диагонали квадрата и вершины соседних квадратов совпадают. После чего нить связана в кольцо, т.е. вершина первого квадрата совпадает с вершиной последнего.  Можно ли кубик Рубика обклеить этой гирляндой так, чтобы каждый квадрат гирлянды накрывал полностью один единичный квадрат поверхности кубика Рубика 3х3х3. 

Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!