Автор Тема: Задачи с кубиком Рубика  (Прочитано 7104 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #15 : 04 Февраля 2016, 03:35:24 »
Задача 3. Гирлянда из квадратов содержит 54 единичных квадрата, которые  приклеены к нитке так, что нить проходит по диагонали квадрата и вершины соседних квадратов совпадают. После чего нить связана в кольцо, т.е. вершина первого квадрата совпадает с вершиной последнего.  Можно ли кубик Рубика обклеить этой гирляндой так, чтобы каждый квадрат гирлянды накрывал полностью один единичный квадрат поверхности кубика Рубика 3х3х3. 

Ну вроде так:
Раскрасим вершины малых квадратиков на кубе в шахматном порядке. Замечу, что сами квадратики это сделать невозможно, а их вершины - возможно. Чтоы это понять поставим куб вертикально на какую-нибудь большую диагональ и раскрашиваем нижнюю вершину в белый, следующие по высоте в черный, следующие по высоте в белый итд
далее заметим, что все узлы этой ленты должны лежать в вершинах одного цвета. Ввиду симметрии такой раскраски на кубах нечетного размера - неважно какого цвета.
Ну и далее рассмотрим угловую вершину нашего цвета. Такая существует, потому что она или первая или последняя в построении раскраски. Убедимся, что вокруг нее ничего уложить невозможно

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #16 : 04 Февраля 2016, 19:05:21 »
Вы просто молодец!
Я понял, Zatamon, что Вы знакомы с приема олимпиадной математики!
Вы или призер всероссийской олимпиады по математики, или просто классный математик, может и программист!
Как всё понятно  становится, если раскрасить так вершины! Ну просто  - очевидно!!
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #17 : 05 Февраля 2016, 13:45:16 »
Просто выпускник мехмата НГУ:-)

Оффлайн pytlivyj

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 186
  • Пол: Мужской
Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #18 : 05 Февраля 2016, 15:34:58 »
Задача 3. Гирлянда из квадратов содержит 54 единичных квадрата, которые  приклеены к нитке так, что нить проходит по диагонали квадрата и вершины соседних квадратов совпадают. После чего нить связана в кольцо, т.е. вершина первого квадрата совпадает с вершиной последнего.  Можно ли кубик Рубика обклеить этой гирляндой так, чтобы каждый квадрат гирлянды накрывал полностью один единичный квадрат поверхности кубика Рубика 3х3х3.
А я эту задачу решил по-другому.
Обклеивание каждой грани куба такой гирляндой делаем из угла и заканчиваем углом, который находится по диагонали. Обозначим этот "обход" грани линией. Теперь представим, что куб 3х3х3 прозрачный и установлен на одну вершину так, что диагональ куба вертикальна. Если посмотреть теперь на куб из зенита, то рисунок образованный линиями "обходов" будет представлять собой равносторонний треугольник с тремя биссектрисами, соединёнными в центре этого треугольника. Теперь попробовав начертить этот треугольник с биссектрисами "одним росчерком", мы убедимся, что одну из биссектрис мы "обойти" не сможем (теория графов).
На деле оно так и получается - 5 граней мы обойдём гирляндой без проблем и зайдём в тупик. Если же нарушить правило обхода 5-й грани по линии "обхода" из угла в угол по диагонали, и после обхода 6 штук квадратиков перекинуться на 6-ю грань, то в ней мы сможем обойти только 6 штук квадратиков. Затем вновь вернувшись на 5-ю грань, и обойдя оставшиеся 3 штуки квадратика, мы так же зайдём в тупик. В итоге у нас будет обклеено 51 штука квадратиков, и снова останется не пройденной диагональ 6-й грани, состоящая из этих 3-х пресловутых квадратиков - подтверждение теории графов при обходе фигуры одним росчерком пера.

P. S. Чтобы обойти 51 клеточку на кубе 3х3х3, в реалии нужно будет гирлянду разрезать и превратить из круговой в прямую, иначе нитка физически не дотянется. Я думаю, это и так понятно.
« Последнее редактирование: 05 Февраля 2016, 15:58:17 от pytlivyj »

Оффлайн pytlivyj

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 186
  • Пол: Мужской
Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #19 : 05 Февраля 2016, 15:57:34 »
Задача 4. (Уже как-то была на старых форумах)
Мальчик Петя получил посылку с не обклеенным кубиком 3х3х3 и набором наклеек. При обклеивании 2-х последних сторон, он случайно перепутал чередование цветов граней стандартной расцветки. Какое минимальное количество пар наклеек ему надо переклеить, чтобы расцветка куба 3х3х3 стала стандартной? Рассмотреть оба случая конструкций центров куба.

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #20 : 23 Октября 2016, 11:23:58 »
В задаче 4 ответ 7 пар. Правильно, pytlivyj?
« Последнее редактирование: 23 Октября 2016, 11:37:34 от Николай »
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #21 : 23 Октября 2016, 11:36:46 »
Задача 5. Все грани кубической коробки для хранения кубика Рубика мальчик покрасил в случайном порядке красками, цвет которых совпадает с цветами граней кубика Рубика, причем в коробке каждым цветом закрашено ровно по одной грани. Может ли девочка вложить кубик в коробку так, чтобы цвета соответствующих граней кубика и коробки не совпадали.

« Последнее редактирование: 23 Октября 2016, 15:57:25 от Николай »
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн Kelvinboy

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 10
  • Пол: Мужской
  • Оранжевый Мегаминкс.
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #22 : 23 Октября 2016, 14:12:38 »
Задача 5. Все грани кубической коробки...

Если коробка покрашена со всех сторон в один цвет, то не удастся.
Ещё я есть на 4PDA под этим же ником.

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #23 : 23 Октября 2016, 16:03:03 »

Если коробка покрашена со всех сторон в один цвет, то не удастся.


Уважаемый Kelvinboy, я уточнил условие задачи:  для покраски коробки мальчик использовал все шесть цветов
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #24 : 23 Октября 2016, 16:25:14 »
Не понимаю смысл задачи. Если мальчик перепутал цвета противоположных граней, поменял белый-желтый, красный-оранжевый, синий-зеленый, то со стандартным кубом они не совпадут нигде. Или развернул наклейки по оси 3-его порядка, или 6-ого. Но чего-то слишком просто.

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #25 : 23 Октября 2016, 18:13:25 »
Уважаемый ramon13!
Мальчик попутал 6 цветов граней как угодно, необязательно парами. Кубик собранный.
Смысл задачи заключается в том, чтобы выяснить, всегда ли девочка сможет собранный кубик вложить в коробку любой раскраски мальчика так, чтобы  не было одноцветной пары граней  у коробки и кубика.
Такую задачу предлагали решить девятиклассникам на математической олимпиаде. 
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн pytlivyj

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 186
  • Пол: Мужской
Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #26 : 23 Октября 2016, 23:33:28 »
В задаче 4 ответ 7 пар. Правильно, pytlivyj?
Ответ не верный. Подумайте ещё чуть-чуть. Кроме того, случай с разными конструкциями центров не указан.

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #27 : 24 Октября 2016, 08:56:51 »
Смысл задачи заключается в том, чтобы выяснить, всегда ли девочка сможет собранный кубик вложить в коробку любой раскраски мальчика так, чтобы  не было одноцветной пары граней  у коробки и кубика.

Не до конца уверен в своем решении, но вроде бы всегда
1. Заметим перебором, что для квадратика рубика это всегда возможно
2. Теперь берем кубик и крутим в коробке по какой-нибудь оси пока у четырех меняющихся граней это не достигнем, а достигнем мы это потому, что (1)
3. Меняем ось (теперь у вершин цвета будут несовпадать) и повторяем (2)
« Последнее редактирование: 24 Октября 2016, 09:10:33 от Zatamon »

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #28 : 30 Октября 2016, 20:25:53 »
Николай, между "может вложить" и "всегда может вложить" огромная разница! Я ответил, что в принципе может, и указал примеры, а оказывается задача была такая:

Коробочку взяли и случайно раскрасили шестью различными цветами, теми же, что имеет кубик-рубик. Всегда ли можно вложить кубик в коробочку так, чтобы цвета на коробочке и на кубике нигде не совпали?

Понял, как переформулировать эту задачу и коробочку выкинуть за ненадобностью:

Наклейки центров случайно переклеяли. Всегда ли будет возможность собрать узор "окошки"?

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Задачи с кубиком Рубика
« Ответ #29 : 30 Октября 2016, 21:52:52 »

Мальчик попутал 6 цветов граней как угодно, необязательно парами. Кубик собранный.
Смысл задачи заключается в том, чтобы выяснить, всегда ли девочка сможет собранный кубик вложить в коробку любой раскраски мальчика так, чтобы  не было одноцветной пары граней  у коробки и кубика.


Уважаемый ramon13!
Я с Вами полностью согласен в огромной разнице между "может вложить" и "всегда может вложить", поэтому и исправил свою ошибку в первоначальной формулировке и привел уточняющую формулировку. Как раз то о чем вы написали выше.
Что касается убрать коробку и сформулировать задачу в форме возможности собрать узор "окошки", то думаю, что такой вариант задачи имеет право быть, и интересен по своему!
Удачи Вам и спасибо за отклик!
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!