Теория коммутаторов и трициклов

[Isaev]

Начальная теория коммутаторов.
Пусть операция A - произвольная последовательность поворотов, она может быть длинной и ничем не примечательной.
Если прокрутить эту последовательность в обратном порядке, мы получим обратную операцию A'.
Важно, что какой бы длинной и разрушительной ни была бы операция A сама по себе, две операции A и A' вернут куб в исходное состояние. То есть
AA' = 1
Пусть B - еще одна произвольная операция. Тогда, аналогично, BB' = 1.
Можно исполнить их обе как ABB'A', и куб все равно вернется в исходное состояние.
Самое интересное начинается, если исполнить эти операции как
ABA'B', иначе говоря выполнить коммутатор [A, B].
Куб соберется в исходное состояние за исключением тех элементов, которые являются общими для A и B.
Для того, чтобы построить алгоритм для трицикла нужного элемента, требуется, чтобы операции A и B перекрывались только на одном этом элементе. Тогда можно сказать, что операция A - ВЫДЕЛЯЕТ нужный элемент, а операция B - ПОДМЕНЯЕТ этот элемент.
Пример:
A = U U+ D' D- L U2 D2 R2 U2 D2 L U- U' D+ D
B = F- B+ L2 F+ B-
Смотрим на картинки, что делает каждая из них. Видно, что единственным общим затрагиваемым элементом у A и B является один единственный ромбоид. Поэтому, выполнив ABA'B' получим чистый трицикл для ромбоидов.
В данном конкретном примере операции A и B являются обратными сами для себя, поэтому вместо [A, B] этот алгоритм можно выполнить проще как (AB)2

Чаще всего в качестве операции подмены B выступает один-единственный поворот, поэтому составление коммутаторов обычно дело несложное, а их длина обычно 8-12 ходов, бывает и 4 хода. Но из-за того, что в Багуа-Кубе сколь-нибудь просто выделить ромбоид из слоя не представляется возможным, коммутаторы получаются длинными и сложными. Вышеприведенный коммутатор имеет 32 хода. И это один из самых коротких коммутаторов для ромбоидов. До открытия кратчайших коммутаторов поначалу использовались не вполне оптимальные коммутаторы под 50 ходов.

Рассмотренный способ построения трициклов не является единственным. Например, для углов я люблю применять конструкцию вида [R' D' R, U][U', R' D' R]. Но это уже совсем другая история...

Очень хорошее начало!
Bagua не самый хороший пример для начала. Может стоит начать с классики?
Из этого примера не совсем ясно: если мы из общей формулы выделили эти A и B, можем мы на бумаге найти их пересечения и примерно сказать что она делает или без кубика это не понять?


Ссылки по теме:

• Коммутаторы
• Коммутаторы на больших кубах
• Метод сборки ребер. Одно за раз коммутаторами c переменным буфером
• Теория паритетов

[ramon13]

Eсть простые правила для составления 8 ходовых коммутаторов для кубов NxNxN.

Они имеют вид [A B A', C], в развернутом виде (A B A') C (A B' A') C'. Ходы B и С должны лежать в параллельных плоскостях. После исполнения A B A' в слое, вращаемом поворотом С, не должно быть разрушений, за исключением одной дыры, которая специально создается через A B A'. Потренируйтесь на 3x3, на центрах и на ребрах 5x5. Собственно, простейшая 8-ходовка для углов и есть коммутатор.

[R' D' R, U] = (R' D' R) U (R' D R) U'

R' D' R - выделяем из верхнего слоя кубик (не задумываясь, куда именно он уходит) и ставим на его место новый. Помним, что грани D и U параллельны;
U - подменяем этот кубик третьим кубиком с верхнего слоя
(R' D R) U' - откатываем назад.
Вот и получаем трицикл для углов

Дополнительные темы для размышлений:
1) коммутаторы и 2+2 перестановки
2) коммутаторы и паритеты
 

[ramon13]

Bagua не самый хороший пример для начала

Пример хорош тем, что тут А и B довольно навороченные последовательности и вытворяют много безобразий с кубом помимо нужного крохотного ромбика. Но именно механизм коммутаторов позволяет откатить все эти разрушения и безобразия и оставить в итоге одни ромбики.

[grigr]

полностью согласен с Рамоном. примерно такой же ход мыслей и у меня
чуть позже попробую с примерами свой ход мыслей изложить.
по сути тоже самое, но может кому-то будет немного понятней

[Леннон]

Один из простеньких примеров (для 3*3*3):


Красные зоны - воздействие (R2 F2)*3 = A
Зеленые зоны - воздействие (L2 U2)*3 = B

Общим элементом для зон является кубик UF.
А сочетание типа A B A B - будет являться трициклом (кубики UB, UF, BF, DF).

Из сложных примеров можно взять вот такой, довольно свежий:


"Четверка" - охватывает порядка трети-четверти головоломки.
"Тройка" - порядка половины.
Итого на пару, охватывается чуть ли не вся поверхность.

Общих элементов между ними довольно много. Это центра, трапеции (по одному экземпляру). Похоже и уголки где-то тоже попадают под общее воздействие, поскольку хорошо так перепутываются. Один, два, три - только на переднем плане, на обратной стороне часть уголков тоже смещается.
Тем не менее, столь "грязный прием", вполне подходит для решения каких-нибудь элементов (трапеций). Остальными же элементами можно просто пренебречь, если они будут решаться позднее.

[ramon13]

Трицикл одиночных треугольничков для Мегаминкса 2х2 - сложная задачка)

[ramon13]

Нельзя не упомянуть о так называемых Y- и Z-коммутаторах. Это довольно бестолковые пиф-пафы, которые размазывают кубики в виде букв Y и Z, отсюда и название. Но, будучи повторены несколько раз, оказываются часто полезными. При их помощи мы продемонстрируем вложенные коммутаторы, а также ипользование одиночного поворота в качестве самого распространенного варианта подмены (часть B).

[R, U] - Z-коммутатор
[R, F'] - Y-коммутатор
[[R, F'], U] - трицикл

[Леннон]

Кстати с такого коммутатора как раз и начинал осваивать треху. Использовался просто Y (для ребер), а потом трижды повторенный Y, и комбинации на основе утроенного Y (всё для углов).
Первая удачная сборка трехи таким методом заняла порядка 40 минут. Потом время решения было стабилизировано на 3-4 минутах.

[Isaev]

В бермудах без них вообще тяжко. Хотя может я просто не знаю других вариантов там, а может потому, что именно Леннон подсказывал как их решать

[grigr]

хочу поделиться своим способом сборки любого кубика от 2*2, до 7*7 (больше нет просто)
этот же метод подходит для поиска Три-циклов во многих головоломках

условно все похоже на Лифт двигающийся между двумя этажами.

рассмотрим построение простого три-цикла для 3х угловых кубиков (два в верхнем слое, один в нижнем)
нужный нам кубик сначала опускаем этажом ниже (F) и убираем его из лифта (D),
после чего возвращаем лифт назад (F') а в него помещаем другой необходимый для перестановки кубик (U')
далее повторяем операцию: лифт вниз (F), возвращаем в него первый кубик (D') и
возвращаем лифт наверх (F'). но тк у нас цикл, то нужно поставить кубик на место того который опустили вниз (U)

в результате имеем простейшую формулу:
F D F' U' - F D' F' U


совершенно аналогично формируются три-циклы для все остальных видов кубиков!

(простите за нотацию, не владею стандартной... например поворот второго слоя буду обозначать как U2, среднего U3)

F U2' F' U - F U2 F' U'


F U3' F' U - F U3 F' U'


F D2' F' U2 - F D2 F' U2'


F2 U3' F2' U' - F2 U3 F2' U

[grigr]

полностью по этой же схеме построены и три-циклы для Пентаграмма!

для расширения влияния формул допускаем что лифт и этаж - могут быть многоходовки

здесь A и C разные этажи, B - лифт


для понимания построения более сложных формул нужно уяснить и суть понятия Этаж и Лифт
если в кубике Этажи это параллельные слои, Лифт перпендикулярный к ним слой.

то здесь Этажи это 2 вращаемых блока которые друг с другом не пересекаются!
Лифт же такая комбинация которая переносит на другой этаж только 1 эелемент
те при повороте 2 этажа, на нем находится только один элемент с 1го

здесь A и C разные этажи, BF' - лифт


здесь A и H разные этажи, D'FC - лифт


здесь A и B разные этажи, G'JBF' - лифт

[grigr]

как пример: мои решения для

ЧопоЗавр: http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?p=121198#p121198
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?p=123064#p123064

БигЧоп: http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?p=123968#p123968
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?p=124380#p124380
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?p=124410#p124410

24-Октаэд / 24-Куб: http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?p=120877#p120877
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?p=120938#p120938

пс
оххх! как давно это было лето 2008! восемь лет!

[ramon13]

простите за нотацию, не владею стандартной... например поворот второго слоя буду обозначать как U2, среднего U3

Номер слоя через префикс и маленькая буква, то есть 2u или u, 3u. А большая буква зарезервирована для других целей

[ramon13]

Сколько живу, постоянно путаюсь в формулах трицикла для боротовых кубиков, то вертят не в ту сторону, то куб обратно не собирается. Нехитрые формулы известны еще со времен НЖ, и такая беда.

Выход один - разработать коммутатор самому! Последовательность, которая исполняется не как "формула", а как коммутатор, оседает в памяти навечно и безошибочно даже после первого раза. И все сразу встало на свои места.

Мне нравится так:

{f, [{r', D'}, U2]}

Не обошлось без сетап-мува f, так как кубики изначально лежат в одной плоскости.

[Isaev]

А разворачивается это как? Никак не освоюсь с  этой системой суперсокращений.