abc-гипотеза и разоблачение Великой теоремы Ферма.
Последняя, большая или "Великая" теорема Ферма (ВТФ) – элементарное высказывание из теории чисел, которое снискало себе многовековую славу чрезвычайно сложной, неразрешимой задачи. Считается, что теорема Ферма была доказана профессором Принстонского университета Эндрю Уайлсом в 1994 году, причем в 1995 году доказательство было переработано и усовершенствовано, явившись полным и окончательным решением проблемы. Попробуем разобраться, какое отношение имеет Уайлс к доказательству ВТФ. Едва познакомившись с теоремой в младших классах, Уайлс загорелся желанием заполучить мировую славу покорителя неприступной вершины. Для достижения этой цели он стал профессиональным математиком. Но, разумеется, успехов на этом поприще не добился, сколько ни старался, пока не познакомился с двумя важными гипотезами. Первая гипотеза была выдвинута в середине 50-х годов и называется гипотезой Таниямы-Симуры. Она устанавливает соотношение между эллиптическими кривыми в рациональных числах и модулярными формами, которые представляют собой определённые аналитические функции комплексного переменного. А именно, каждой эллиптической кривой соответствует своя модулярная форма. Вторая гипотеза была выдвинута в 1985 году Герхардом Фреем (и доказана в 1986 году Кеном Рибетом) и заключается в том, что любой контрпример к ВТФ, если он существует, приводит к эллиптической кривой без модулярной формы. Заполучив эти гениальные, революционные идеи, наш герой-выскочка решил не упустить свой последний шанс "первооткрывателя" и на многие годы изолировал себя от всего мира, спрятавшись на чердаке собственного дома, чтобы выполнить недостающую техническую работу по доказательству той части (лишь части!) гипотезы Таниямы (полустабильные кривые), которой будет достаточно для формального завершения доказательства ВТФ, которая уже, по-сути, была доказана Фреем. Время от времени он симулировал вялую научную деятельность, публикуя свои уже имеющиеся наработки по эллиптическим кривым. Иногда, когда дело стопорилось, он высовывал нос для вынюхивания свежих идей в математике, а также подсовывал для проверки некоторые выжимки своего доказательства студентам и аспирантам в качестве "задачек" на семинарских занятиях. Разумеется, этой теме посвящено немало книг, статей, есть даже научно-популярные фильмы. Но все они сходятся в одном - доказательство ВТФ очень сложно и должно быть именно таким, каким его предоставил Уайлс на 200 страницах. И хотя в конечном итоге Уайлс удостоился престижной Абелевской премии в "за потрясающее доказательство Великой теоремы Ферма путём применения теории модулярности для полустабильных эллиптических кривых, открывающее новую эру в теории чисел", более уродливой ситуации и неподходящего доказательства невозможно себе представить за всю историю существования науки.
Теорема Ферма - это пустельга, не имеющая никакой практической ценности. Ее истинное доказательство, как и формулировка, понятно любому любознательному школьнику. Доказать ее не сложнее, чем несоизмеримость диагонали квадрата его стороне.
Одно известное короткое доказательство основано на гипотезе Била (1993).
Если a^x + b^y = c^z, где a,b,c,x,y,z - натуральные числа, причем x,y,z>2, то a,b,c имеют общий простой делитель.
Если ВТФ только и может, что отрицать, то у гипотезы Била есть положительное содержание. Тройки a,b,c существуют, но они имеют общий делитель.
Например, 3^3 + 6^3 = 3^5, однако тут a,b,c делятся на 3.
Теперь докажем ВТФ.
Допустим, x = y= z = n > 2, тогда a^n + b^n = c^n. По гипотезе Била это равенство можно сократить на некоторое p, то есть (a/p)^n + (b/p)^n = (c/p)^n.
Проделывая эту операцию снова и снова, бесконечное число раз, приходим к противоречию.
Для достаточно больших a,b,c,x,y,z гипотезу Билла можно доказать через abc-гипотезу, но этого и не требуется, так как abc-гипотеза дает возможность доказать ВТФ напрямую.
abc-гипотеза - (1985)
Пусть a + b = c - упорядоченная тройка взаимнопростых чисел, тогда П(abc) - произведение составляющих эти числа различных простых сомножителей, взятых строго по одному разу.
Если теперь записать с через степень П, как с = П(abc)^q, то оказывается, что q (качество) лежит в интервале (1/3, 5/3) для любых чисел. Менее смелая оценка интервала это (1/3, 7/4) (Baker 2004, wiki англ.). На факт доказательства ВТФ это не влияет.
Добротность (merit) тройки вычисляется по формуле:
m = (q-1)^2 * ln(c)/q * ln(ln(c)/q)
Пример:
3 + 5^3 = 2^7
П(abc) = 3*5*2 = 30
q = ln(128)/ln(30) = 1.427
m = (1.427-1)^2 * ln(128)/1.427 * ln(ln(128)/1.427) = 0.789
Для чисел порядка 10^20, для которых выполнен полный перебор,
по этой формуле получается, что при m < 48 имеем q < 1.75, а при m < 40 имеем q < 5/3.
Известные рекордные значения для некоторых троек:
m=38.67 и q=1.32
m=8.64 и q=1.63
m=26.86 и q=1.62
Если допустимая добротность m не может превышать 40, рассчитаем максимальное качество для чисел размера 10^100, 10^1000, 10^1000000. Оно (q) будет равно 1.2, 1.049 и 1.0011.
Таким образом, максимально допустимое качество равно 5/3 (реально только у трех известных троек чисел оно > 1.6 и лишь у нескольких > 1.5), а с ростом размера чисел оно стремится к единице. Выборочный поиск ведется и для очень больших чисел, порядка 10^1000, но получаемые при этом q ~ 1.02 и m < 17.
ВТФ нельзя доказать никаким перебором. Даже если мы переберем все числа в 100 знаков и все степени вплоть до 1000, то может оказаться, что мы плохо искали, и для 1001 степени ВТФ не работает.
В противоположность этому, численный эксперимент надежно иллюстрирует справедливость abc-гипотезы. Качество q троек взаимнопростых чисел ограничено. Это число равно 5/3, но для верности можно принять верхний предел даже равным 2-м, что заведомо больше всех мыслимых оценок. Все равно ВТФ будет доказана, правда, начиная с шестой степени вместо пятой.
Познакомившись с abc-гипотезой, рассмотрим
a^5 + b^5 = c^5
a^6 + b^6 = с^6
....
Собственно, это тоже суммы троек чисел, однако П(a^n b^n c^n) = П(abc) < c^3. Поэтому для первой суммы П(abc)^(5/3) < c^5, и q > 5/3, для второй q > 2, и т.д., что выходит за пределы интервала допустимых значений q.
Таким образом, ВТФ доказана для всех степеней n >= 5
Данное доказательство проливает новый свет на ВТФ. Ее компетенция реально ограничена случаями n = 3 и n = 4, которые давно рассмотрены Ферма и Эйлером. Для n >= 5 мы сталкиваемся с более общей проблемой разложения высококомпозитного числа на сумму двух высококомпозитных слагаемых. Поэтому вся четырехвековая гонка доказательств ВТФ для все больших n, а потом и для всех n, выглядит театром абсурда, хотя и принесла свои плоды в смежных областях математики. Ведь чем больше числа и больше n, тем острее нарушается максимальный предел на качество adc-троек!! Оказывается, ВТФ просто-напросто противна самой арифметической природе операций сложения и умножения!! Записав x^n + y^n = z^n и начав преобразования, мы не обнаружим никаких противоречий, общих для всех n, за исключением одного - таких высокосоставных чисел не бывает!! В этом и заключается подлинная разгадка ВТФ.
И хотя гипотеза-abc еще не доказана в строгом смысле этого слова и из первых принципов, прямая численная проверка показывает, что она верна. Ситуация во многом аналогична гипотезе Римана, на которую ссылаются, не имея ее строгого доказательства.
Вот как на деле, используя гипотезу Била или abc-гипотезу, буквально за пару строк можно доказать так называемую ВТФ. Вот уж действительно, ВТФ формулируется на школьном уровне, и на школьном уровне элементарно доказывается, как и полагается для такого рода утверждения.
