Автор Тема: Занимательная математика  (Прочитано 7576 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #105 : 07 Февраля 2017, 09:19:05 »
Ответ на задачу 12

это три архимедовых тела:
4 ш 4 т (gem 8)
8 ш 6 к (gem 3,4,7)
20 ш 12 п (футбольный мяч, как указал Пытливый)

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #106 : 07 Февраля 2017, 09:40:45 »
Ответ на задачу 12

это три архимедовых тела:
4 ш 4 т (gem 8)
8 ш 6 к (gem 3,4,7)
20 ш 12 п (футбольный мяч, как указал Пытливый)
Почему 3? Чтотакое например "4 ш 4 т (gem 8)"?
Футбольный мяч, как я уже писал не может быть решением. потому что для него работает формула Эйлера: В-Р+Г=2 То есть, если многогранник состоит из Н шестиугольников, то Г=Н, Р=6Н/2=3Н В<=6Н/3=2Н
Отсюда В-Р+Г<=2Н-3Н+Н=0 , не может быть 2

PS Кстати, не стесняйтесь погуглить, эта задача почти моя (а задача 13 совсем моя) , она только единожды успешно в интеренете обсуждалась, маловероятно, что вы на нее нарветесь, скорее наткнетесь на доказательство того, что формула эйлера доказывает, что это невозможно
« Последнее редактирование: 07 Февраля 2017, 09:56:01 от Zatamon »

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #107 : 07 Февраля 2017, 09:55:01 »
Zatamon, какой вы придира, просто кошмар!!! Очевидно ведь:

1) Усеченный тетраэдр. Четыре шестиугольника и 4 треугольника.
2) Усеченный октаэдр. Восемь шестиугольников и 6 квадратов.
3) Усеченный икосаэдр. 20 шестиугольников и 12 пятиугольников.

Если в этих архимедовых телах оставить только шестиугольные грани и дыры в виде остальных многоугольников, получим требуемые шестиугольные многогранники с дырами.

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #108 : 07 Февраля 2017, 09:57:48 »
Zatamon, какой вы придира, просто кошмар!!! Очевидно ведь:

1) Усеченный тетраэдр. Четыре шестиугольника и 4 треугольника.
2) Усеченный октаэдр. Восемь шестиугольников и 6 квадратов.
3) Усеченный икосаэдр. 20 шестиугольников и 12 пятиугольников.

Если в этих архимедовых телах оставить только шестиугольные грани и дыры в виде остальных многоугольников, получим требуемые шестиугольные многогранники с дырами.
4 треугольника - я просил только из шестиугольников
Под дырами вы неправильно понимаете. убрать грань - это не дыра, а ликвидация многогранника. Тела должны ьбыть нормально замкнуты, иметь объем и , желательно, без самопересечений

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #109 : 07 Февраля 2017, 10:05:32 »
Эти архимедовы тела не развалятся при ликвидации нешестиугольных граней. Вот вам и дыры.

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #110 : 07 Февраля 2017, 10:10:51 »
Эти архимедовы тела не развалятся при ликвидации нешестиугольных граней. Вот вам и дыры.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA
Цитировать
Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве, такая, что:

каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
При оиквидации этих граней это условие не будет выполняться, так что это больше не будет многогранником. Единичый шестиугольник ведь тоже не развалится, разве он - многогранник?

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #111 : 07 Февраля 2017, 10:22:54 »
Возьмем бумажные модели тетраэдра, октаэдра, икосаэдра. Усечем их. Они не развалятся. Вот вам твердые тела с дырами и шестиугольниками.

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #112 : 07 Февраля 2017, 10:25:26 »
Возьмем бумажные модели тетраэдра, октаэдра, икосаэдра. Усечем их. Они не развалятся. Вот вам твердые тела с дырами и шестиугольниками.
Многогранниками от усечения они быть перестанут. А я просил многогранник

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #113 : 07 Февраля 2017, 19:36:51 »
А вашему многограннику от его дыр плохо не становится?

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #114 : 07 Февраля 2017, 23:52:10 »
А вашему многограннику от его дыр плохо не становится?
Вы сейчас о чем?
Ок, забудьте мое слово "дырявый" Я просто спрашиваю вас попстролить многогранник все грани которого - шестиугольники
Ну, или давайте по-другому скажем. Вот есть формула В-Р+Г=2  Я думаю, вы понимаете, что она не для всех многогранников валидна а толко для тех, чей граф "вершины-ребра" расположим на плоскости, в частности ограньте тор (только честно, чтобы тот граф был связен) и для такого многогранника В-Р+Г должно быть  равно 0. Самая простая огранка, что я вижу, это 9 4угольных граней, у которой в каждой вершине сходится 4 ребра. Получаем Г=9, Р=18, В=9 Тор по вашему дырок не имеет?
« Последнее редактирование: 08 Февраля 2017, 05:25:19 от Zatamon »

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #115 : 08 Февраля 2017, 08:50:52 »
Так оказывается, вам нужны многогранники, топологически равные гирям с ручками? Никогда таких не видел

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #116 : 08 Февраля 2017, 09:48:37 »
Так оказывается, вам нужны многогранники, топологически равные гирям с ручками? Никогда таких не видел
Мгне неважно какие. Я просто предупреждаю, что иные невозможны и если будут доказательства невозможности, исходящие из выпуклости или формылы эйлера я просто предупредил, что не приму
Более того, у самого простого такого многогранника, что я до недавнего времени знал вроде как В+Г-Р=-10, но я что-то сомневаюсь в его топологической эквивалентности гире с шестью ручками
« Последнее редактирование: 08 Февраля 2017, 09:54:27 от Zatamon »

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #117 : 08 Февраля 2017, 11:44:09 »
вот как раз сферы с ручками и есть решение вашей задачи!!!

Если в вершине сходица ровно три ребра, тогда для любого многогранника:

3p3 + 2p4 + p5 = 6x + sum(k>=7, (k-6) pk)

p3 - число треугольников,
p4 - число квадратов,
p5 - число пятиугольников,
pk - число k-угольников,
x - эйлерова характеристика

для сферы x=2;
для сферы с одной ручкой x=0;
для сферы с двумя ручками x=-2;
для сферы с тремя ручками x=-4

формула про число шестиугольников ничего не говорит, но существует (может, даже не одно) количество шестиугольников, чтобы достроить любой набор pk.

Решаем:
1) 0 = 0 - это значит тор можно огранить шестиугольниками;
2) 0 = -12 + 2p8, p8=6 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и шестью восьмиугольниками;
3) 0 = -12 + 1p7, p7=12 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двенадцатью семиугольниками;
...
4) 0 = -12 + 6p12, p12=2 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двумя двенадцатиугольниками;
5) 0 = -12 + 12p18, p18=1 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и одним восемнадцатиугольником;

 
« Последнее редактирование: 08 Февраля 2017, 11:53:40 от ramon13 »

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 156
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #118 : 08 Февраля 2017, 12:01:23 »
вот как раз сферы с ручками и есть решение вашей задачи!!!
Ну, как сказать. Как по вашему, если взять граф из 5 точек, в котором каждая вершина соединена с каждой и чуть расширить точки и ребра, чтобы получилось объемное тело - это будет сфера с ручками? Вообще-то жэтот граф нерасположим на плоскости
Если в вершине сходица ровно три ребра
А если не 3?

1) 0 = 0 - это значит тор можно огранить шестиугольниками;
2) 0 = -12 + 2p8, p8=6 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и шестью восьмиугольниками;
3) 0 = -12 + 1p7, p7=12 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двенадцатью семиугольниками;
...
4) 0 = -12 + 6p12, p12=2 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двумя двенадцатиугольниками;
5) 0 = -12 + 12p18, p18=1 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и одним восемнадцатиугольником;
Ну, я вижу, вы какой-то минимализм вычислили. Это хорошо, но примеров не вижу.

Кстати, я только сегодня случайно нагуглил, что и правда существует подобный тору многогранник толко из шестиугольников, но описать или нарисовать его - увольте.  А известные мне жо этого примеры описывались словами.

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #119 : 08 Февраля 2017, 12:10:58 »