Автор Тема: Занимательная математика  (Прочитано 7578 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #135 : 27 Февраля 2017, 13:57:08 »
Второй нашелся:

acos( sqrt( (1/18*(9+sqrt(93)))^(1/3) -  (3/2*(9+sqrt(93)))^(-1/3) ))
~34.3068... град

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #136 : 28 Февраля 2017, 08:39:08 »
Цитировать
Скажу честно, точное значение угла я не нашел, хотя и составил тригонометрическое уравнение, которое тоже оказалось не по зубам. Но зато обнаружил, что меньший острый угол может принимать два значения! Удивительно!

Николай, теперь, когда точные значения углов получены, то и решение стало очевидным. Оно очень простое и под силу любому старшекласснику. Также понятно, почему корней - два.

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Занимательная математика
« Ответ #137 : 28 Февраля 2017, 09:20:01 »
решение стало очевидным. Оно очень простое и под силу любому старшекласснику. Также понятно, почему корней - два.

ramon13, в чем же его очевидность? и почему понятно, почему корней - два?
Я тоже нашел эти приближенные значения углов в градусах, программируя! Так в чем же простота?
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #138 : 28 Февраля 2017, 10:03:17 »
Николай, имея мои ответы, попробуйте подогнать решение под эти ответы, и все станет очевидным.

Оффлайн pytlivyj

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 186
  • Пол: Мужской
Занимательная математика.
« Ответ #139 : 28 Февраля 2017, 22:16:29 »
Действительно, решение задачи № 15 сводится к составлению уравнения высокой степени, которое не решается с помощью радикалов. Даже после применения формул понижения степени тригонометрических функций, получим уравнение с тремя видами углов – искомым, двойным и четырёхкратным. Поэтому простоту и наглядность решения таких задач лучше всего увидеть графически.

Пусть длина стороны квадрата равна 1 ед., а величина острого угла прямоугольного треугольника равна Х. Тогда больший составляющий отрезок верхней стороны квадрата равен tg X, а меньший составляющий отрезок этой же стороны квадрата равен cos⁶X – это очевидно из рисунка условия задачи. Отсюда:
cos⁶X + tg X = 1 – уравнение (1),
или cos⁶X = 1 - tg X.
Т. к. острый угол в треугольнике имеет величину от 0ᵒ до 90ᵒ, то построим графики функций Y1 = cos⁶X и Y2 = 1 - tg X на отрезке от 0ᵒ до 90ᵒ.  Точки пересечения этих графиков и дадут нам искомые корни уравнения (1). Заодно проверим решение ramon13. В решении используем обычный инженерный калькулятор в базе компьютера.
X                  Y1                  Y2
0ᵒ                   1                      1
5ᵒ             0,977384          0,9125113
10ᵒ           0,912239          0,823673
15ᵒ           0,812199          0,73205
20ᵒ           0,688517          0,63603
25ᵒ           0,554184          0,539692
29ᵒ           0,447626          0,445691
30ᵒ           0,421875          0,4226497
34ᵒ           0,324672          0,3254915
35ᵒ           0,302125          0,2998
40ᵒ           0,20208            0,1609
45ᵒ           0,125                     0

Дальше нет смысла строить, т. к. графики этих двух функций сильно расходятся. Теперь наглядно видно, что график функции Y1 сначала лежит выше графика функции Y2, затем ниже, потом снова выше, и точки пересечения лежат в 0ᵒ, между 29ᵒ и 30ᵒ, а также между 34ᵒ и 35ᵒ. Т. е. на отрезке от 0ᵒ до 90ᵒ уравнение (1) имеет 3 корня, один из которых не рассматриваем.
Прибегнув к помощи всё того же встроенного калькулятора и потратив 7-8 минут времени, приближённым методом деления отрезка пополам находим значения искомых точек пересечения функций до 5-й точной цифры после запятой:
~ 29,67623…ᵒ;
~ 34,30680…ᵒ - те же значения!

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Занимательная математика
« Ответ #140 : 01 Марта 2017, 09:53:00 »
Уважаемый  pytlivyj! спасибо за пост! Именно это уравнение я тоже решал графически!
Приближенные значения корней находил программируя. Всё совпадает!
Не менее уважаемый ramon13 чуть выше приводит точные значения корней выраженные в радикалах и обратных тригонометрических функциях. но пользы от них я не извлек ни какой. Да её и нельзя видимо получить при таких корнях! Удивительно то, что можно делать два типа таких головоломок с углом 29,6° и 34,3°.
Печатая эту задачу на нашем форуме, я пытал иллюзии, чтобы углы были найдены точными, выраженными через Пи
Если бы уравнение решалась школьными приемами, то можно было предложить его ученикам. Ведь так редко случается, что за тригонометрическим уравнением скрывается реальная геометрическая конструкция! Обычно же в школе ученик решает триг. уравнение и не знает, какая модель описаны этим уравнением.
Кому интересно, можно прочитать мою статью про эту головоломку Яркового http://festival.1september.ru/articles/646322/
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн iaroslavski

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 403
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #141 : 01 Марта 2017, 11:39:35 »
Кому интересно, можно прочитать мою статью про эту головоломку Яркового http://festival.1september.ru/articles/646322/

Отличная статья!

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #142 : 01 Марта 2017, 18:56:16 »
Цитировать
ramon13 чуть выше приводит точные значения корней выраженные в радикалах и обратных тригонометрических функциях. но пользы от них я не извлек ни какой. Да её и нельзя видимо получить при таких корнях! Удивительно то, что можно делать два типа таких головоломок с углом 29,6° и 34,3°.

Печально, что ни Пытливый, ни Николай не увидели в моих решениях ничего, кроме нагромождения скобок. А ведь это корни кубических уравнений по формуле Кардано!! Там есть и корень из дискриминанта, и кубические радикалы, к слову...

Откуда же взялись эти кубические уравнения? Попробуем разобраться!

Имеем исходное уравнение (кстати, ноль не является его решением!):

sin(x)[cos(x) + cos3(x) + cos5(x)] = 1

Возводим в квадрат обе части, делаем замену  y = cos(x). После применения основного тригонометрического тождества sin2(x) + cos2(x) = 1, тригонометрическая часть решения заканчивается и начинается алгебраическая.

Имеем:
(1 - y2)(y + y3 + y5)2 = 1

Раскрываем скобки:
y12 + y10 + y8 - y6 - y4 - y2 + 1 = 0

Делаем замену z = y2, имеем:
z6 + z5 + z4 - z3 - z2 - z + 1 = 0

Разлагаем левую часть на множители, для этого угадываем первый множитель:
(z3 + z - 1)

Делением многочленов в столбик получаем второй множитель, имеем:
(z3 + z - 1) (z3 + z2 - 1) = 0

Таким образом, решение задачи свелось к решению двух кубических уравнений. Теперь становится понятным, почему решений - два! Несмотря на простейший вид уравнений, точная запись решений в кубических радикалах оказывается весьма громоздкой. Поскольку точные решения в радикалах приводились мной выше, найдем те же решения численно, организовав итерационный процесс с участием производной, при этом число верных знаков удваивается на каждой итерации:

Для первого уравнения:
z := z - (z3 + z - 1)/(3z2 + 1)

1.000000000000000
0.750000000000000
0.686046511627907
0.682339582597314
0.682327803946513
0.682327803828019
0.682327803828019 - процесс сошелся!

Для второго уравнения:
z := z - (z3 + z2 - 1)/(3z2 + 2z)

1.000000000000000
0.800000000000000
0.756818181818182
0.754881474439750
0.754877666261399
0.754877666246693
0.754877666246693 - процесс сошелся!

Окончательно:
x = acos(sqrt(z)) = 34.306805124062492... или  29.676233031033849...
 
« Последнее редактирование: 01 Марта 2017, 19:09:43 от ramon13 »

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #143 : 01 Марта 2017, 19:24:32 »
Цитировать
Кому интересно, можно прочитать мою статью про эту головоломку Яркового

Придется серьезно переделывать, уравнение не такое сложное. Вполне на уровне понимания школьников.

Оффлайн iaroslavski

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 403
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #144 : 01 Марта 2017, 22:43:41 »
Действительно, как просто!

Оффлайн pytlivyj

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 186
  • Пол: Мужской
Занимательная математика
« Ответ #145 : 02 Марта 2017, 21:24:57 »
ramon13, поздравляю с решением. Тоже дошёл до этого момента, но не довёл до ума.
Делаем замену z = y2, имеем:
z6 + z5 + z4 - z3 - z2 - z + 1 = 0

Разлагаем левую часть на множители, для этого угадываем первый множитель:
(z3 + z - 1)
Угадывать тут и не надо...

z⁶ + z⁴ - z³ = z³ *(z³ + z - 1) и
z⁵ - z² - z + 1 = z² * (z³ - 1) – (z - 1) = (z - 1) * (z² * (z² + z + 1) - 1) = (z - 1) * (z⁴ + z³ + z² - 1) = (z - 1) * (z + 1) * (z³ + z - 1) = (z² - 1) * (z³ + z - 1), отсюда окончательно имеем:
z⁶ + z⁵ + z⁴ - z³ - z² - z + 1 = (z³ + z - 1) * (z³ + z² - 1).

Давненько я не решал многочлены - аж более 26 лет после окончания школы. Последние 3 года я учился в классе с математическим уклоном, у нас было 10 уроков математики в неделю, причём 2 из них факультативно во внеурочное время, где нам частенько задавали подобные примеры превратить расписанные многочлены обратно в произведения скобок. Да, ни в институте, ни в жизни, ни по работе не применялось и немного подзабылось...

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Занимательная математика
« Ответ #146 : 02 Марта 2017, 21:57:22 »
ramon13,  спасибо за сведение тригонометрического уравнения в алгебраическое, я не догадался!
Это продвижение в этой задачке.
Корни  Вы нашли, выражения грамоздкие, но что делать, какие есть!
Приближенные значения углов совпадают с найденными мною, что радует, значит я не ошибся.
Пожалуй мы больше ничего хорошего не выжмем из этой темы!
Упрощенный вариант разложения, которое привел pytlivyj - приятен!
Всем, кто откликнулся, я благодарен! И могу запускать новую задачку!

 
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн pytlivyj

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 186
  • Пол: Мужской
Занимательная математика
« Ответ #147 : 02 Марта 2017, 22:36:45 »
Как-то лет 10 назад решил приближённо с помощью только линейки и циркуля построить угол в 1 радиан. И построив всего 2 простых треугольника, достиг погрешности в + 1'46,0184" в градусном измерении (+ 0,0514 %). А кто-нибудь пробовал подобное?
Если интересно, напишу потом решение.

P. S. Уважаемый Николай, задачки в студию.
« Последнее редактирование: 02 Марта 2017, 22:38:18 от pytlivyj »

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #148 : 02 Марта 2017, 22:44:29 »
Цитировать
Пожалуй мы больше ничего хорошего не выжмем из этой темы!

Я еще посчитал для 9ти треугольников и для 11ти треугольников. Углы получились примерно 17 и 11 градусов

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Занимательная математика
« Ответ #149 : 02 Марта 2017, 23:01:47 »
ramon13, в сторону увеличения числа треугольников можно продвигаться, я пробовал, получается!
А вот для пяти треугольников - нельзя! А жаль!
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!