Автор Тема: Занимательная математика  (Прочитано 7575 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Занимательная математика
« Ответ #150 : 02 Марта 2017, 23:03:30 »
Задача № 17. Разрежьте фигуру на пять частей и сложите из них квадрат.


« Последнее редактирование: 02 Марта 2017, 23:06:47 от Николай »
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #151 : 03 Марта 2017, 09:43:08 »
Цитировать
Как-то лет 10 назад решил приближённо с помощью только линейки и циркуля построить угол в 1 радиан.

Квадратура круга - дело неблагодарное. Даже 60 град. - хорошее приближение к радиану.

Оффлайн pytlivyj

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 186
  • Пол: Мужской
Занимательная математика
« Ответ #152 : 03 Марта 2017, 16:14:22 »
Квадратурой круга я тоже занимался отдельно - достиг погрешности в построении менее 1/1 000 000 площади круга.

Оффлайн pytlivyj

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 186
  • Пол: Мужской
Занимательная математика
« Ответ #153 : 03 Марта 2017, 16:33:26 »
ramon13, в сторону увеличения числа треугольников можно продвигаться, я пробовал, получается!
А вот для пяти треугольников - нельзя! А жаль!
Этому есть вполне логическое объяснение - чем больше треугольников, тем острее угол, а чем их меньше - тем угол больше. Поэтому для 5 треугольников угол становится больше 45 градусов и отсекает внутри квадрата пятиугольник.
Пожалуй мы больше ничего хорошего не выжмем из этой темы!
Оказывается ещё можно выжать. Для того, чтобы задачу про 7 треугольников превратить в задачу про 5 треугольников, необходимо квадрат "растянуть" влево до прямоугольника. Итак,

Задача № 18: найти угол этих 5 шт. подобных треугольников и соотношение сторон прямоугольника, в который они вписаны.

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #154 : 04 Марта 2017, 09:17:34 »
Цитировать
тому есть вполне логическое объяснение - чем больше треугольников, тем острее угол, а чем их меньше - тем угол больше. Поэтому для 5 треугольников угол становится больше 45 градусов и отсекает внутри квадрата пятиугольник.

Все таки, сложить квадрат из пяти подобных треугольников можно.
Запишем уравнение по другому:

sin(x)cos(x) + sin(x)cos3(x) + 1/sin(x)*cos5(x) = 1

x = 45 градусов, два маленьких треугольника получились равными.

Оффлайн Philipp

  • Администратор
  • *****
  • Сообщений: 1 959
  • Пол: Мужской
  • С Администратором лучше не спорить.
Re: Занимательная математика
« Ответ #155 : 04 Марта 2017, 09:26:45 »
Вы сейчас все укладушки здесь высчитаете математически, а что конструкторы таких головоломок будут делать?
Николай недальновидно выложил задачку. :)

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Занимательная математика
« Ответ #156 : 04 Марта 2017, 09:39:17 »
Вы сейчас все укладушки здесь высчитаете математически, а что конструкторы таких головоломок будут делать?
Николай недальновидно выложил задачку. :)

Дорогой Philipp! может быть ты и прав!
Но эта моя разработка уже опубликована в журнале "Математика в школе".
У него довольна узкая и специфическая аудитория читателей - учителей математики.
Решил чуть-чуть расширить её! Но и задачка сама по себе интересна! Как мне кажется!
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн pytlivyj

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 186
  • Пол: Мужской
Занимательная математика
« Ответ #157 : 06 Марта 2017, 22:35:15 »
x = 45 градусов, два маленьких треугольника получились равными.
Для 45 градусов рассматривать не интересно, т. к. кол-во подобных треугольников можно автоматически сделать равным от 2-х до бесконечности. Кроме этого, ни один из катетов самого маленького треугольника при этом не лежит на одной прямой с катетом самого большого треугольника. Всё-таки нужно рассматривать треугольники как в задаче № 18.

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #158 : 07 Марта 2017, 08:55:07 »
Я не виноват, 45 вылезло само из решения, если подставить гипотенузу

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #159 : 08 Марта 2017, 08:37:23 »
Таак, а почему молчит Николай?

Ответ на задачу Пытливого об укладке ПЯТИ треугольников в прямоугольник.
Угол равен 36.85 град, отношение сторон 0.7872

Думаю, для школьников такое решать будет так же тяжело, разве что на информатике вместо математики, ха-ха-ха.

Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Занимательная математика
« Ответ #160 : 08 Марта 2017, 09:36:56 »
Друзья, извините! Цейтнот!
Но задачки все интересные!

А зачем долго искать? Пять треугольников Яркового образуют прямоугольники, даже два.
Тут, конечно, надо быть аккуратным, чтобы не окзалось равных треугольников!

« Последнее редактирование: 08 Марта 2017, 09:50:47 от Николай »
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн ramon13

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 294
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #161 : 08 Марта 2017, 11:50:52 »
Николай, хвалю за изобретательность! Воистину колумбово решение) Но как найти самый толстенький прямоугольник, наиболее приближенный к квадрату?

Оффлайн pytlivyj

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 186
  • Пол: Мужской
Занимательная математика.
« Ответ #162 : 08 Марта 2017, 19:02:02 »
Ответ на задачу № 17:


Оффлайн Николай

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 805
  • Пол: Мужской
  • Во всероссийском клубе "Диоген" с 1993 года
Re: Занимательная математика
« Ответ #163 : 10 Марта 2017, 21:54:39 »
Отлично, pytlivyj!
Вы нашли одно из шести известных мне решений этой задачи!
Головоломки уже затем решать надо, что они ум в порядок приводят!

Оффлайн pytlivyj

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 186
  • Пол: Мужской
Занимательная математика
« Ответ #164 : 11 Марта 2017, 23:07:42 »
Тут, конечно, надо быть аккуратным, чтобы не окзалось равных треугольников!


Переобозначим величину нижней стороны выделенного прямоугольника как 1 ед. и найдём величины длинных катетов вертикального одиночного треугольника (Х), первого (Y1) и второго (Y2) снизу горизонтальных треугольников. Пусть величина короткого катета второго снизу треугольника равна А, а величина короткого катета четвёртого снизу треугольника равна В.

1) для угла α1 = 34.306805124062492...

Y1 = cos α1 = 0.826031357654... ед.
Y2 = cos² α1 = 0.682327803828... ед.
А = sin α1 * cos α1 = 0.4655712318... ед.
В = sin α1 * cos³ α1 = 0.317672196171... ед.
Х = А + В = 0.783243428... ед. - нет равных треугольников;

2) для угла α2 = 29.676233031033849...

Y1 = cos α2 = 0.8688369618327094... ед.
Y2 = cos² α2 = 0.75487766624669298... ед.
А = sin α2 * cos α2 = 0.4301597090019466... ед.
В = sin α2 * cos³ α2 = 0.324717957244746... ед.
Х = А + В = 0.75487766624669298... ед. - вертикальный одиночный и второй снизу горизонтальный треугольники РАВНЫ!
Поэтому по условию задачи № 18 данному колумбовому решению удовлетворяет только один ответ!