Автор Тема: Занимательная математика  (Прочитано 13231 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Doctor Hedron

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 146
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #195 : 10 Мая 2018, 22:45:55 »
Насколько я понимаю, там решение гладкое на интервале (0, 1). А можно более детальный пример? значит, 1/3, 1/3 и 1/3. Потом что, в цифрах?
Хе, начал расписывать, получил противоположный ответ и понял, что я ступил вот тут:
А вот если и чай, и булочка (1 шт) стоят одинаково по 0.(3), то уже не влезет, т.к. второе умножение числа на ту же величину приводит к большему увеличению с т.з. сложения. A * N = B, B * N = C => (C - B) > (B - A). Но про одинаковость стоимости в задаче ничего не сказано.
Вернее, фраза про умножение-то верна, но вывод я из нее сделал противоположный, потому что применил в обратную сторону.

Ответ: чай после двух подорожаний будет <= 1 рубля в любом случае, где "=" в крайнем случае (чай 1 р, булочка 0 р).

Зачем Вы подстановками занимаетесь?
Мне кажется, здесь систему уравнений надо составить из пропорций.
Хотел показать логику для общего случая, безотносительно соотношения цены чая и булки, да только себя запутал. :) С уравнениями выходит лучше, да.

Ч + 2 * Б = 1
Ч * N + Б * N = 1 // N - коэффициент подорожания, и назовем Ч / Б = П (Пропорция), тогда подставим Ч = П*Б

N ( Ч + Б) = Ч + 2 Б
N = (Ч + 2Б) / (Ч + Б)
N = ((П+2) Б) / ((П+1)Б)
N = (П+2) / (П+1)

П - в общем случае любое число >= 0. Но здесь заметим, что ф-ция (x+2)/(x+1) при x >= 0 имеет максимум в точке 0 (2), а дальше строго убывает, т.е. уже как минимум видно, что N * N (два подорожания) будут не больше, чем в 4 раза.

Кроме того, мы знаем, что Ч + 2Б = 1, т.е. Ч (1 + 2/П) = 1. Отсюда Ч = 1 / (1+2/П), и итоговая цена чая после двух подорожаний, т.е. Ч * N * N, выражается через П как (П+2)^2 / [(П+1)^2 * (1+2/П)]. Это уже менее очевидно на глаз, но можно запихнуть в Вольфрам и увидеть, что это асимптотически приближается к 1 снизу. То есть цена 1 чая после 2 подорожаний будет <=1, и тем больше, чем больше пропорция чая к булочке (если П = +inf, то Б = 0, чай = 1).

Зря я начал кириллицей это все обозначать, с утра причешу, наверное. :)

P.S. В случае, если в задаче фраза "После первого подорожания, на рубль можно было купить стакан лишь с одной булочкой" означает, что Ч * N + Б * N <= 1, а не = 1, то ответ остается тем же - итоговая сумма будет всяко меньше, а не больше, чем если бы там было = 1.
« Последнее редактирование: 10 Мая 2018, 22:52:54 от Doctor Hedron »

Оффлайн Philipp

  • Администратор
  • *****
  • Сообщений: 2 106
  • Пол: Мужской
  • С Администратором лучше не спорить.
Re: Занимательная математика
« Ответ #196 : 11 Мая 2018, 06:17:16 »
Систему уравнений надо упростить через преобразование по формулам.
Чувствую, что решение простое будет.
Такие задачки от ответа создают.

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 521
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #197 : 11 Мая 2018, 08:35:23 »
Цитировать
А вот если и чай, и булочка (1 шт) стоят одинаково по 0.(3), то уже не влезет

Можно было на пальцах заметить, что это не так:

1) 1/3 + 1/3 + 1/3
2) 1/2 + 1/2
3) 3/4 < 1 - на чай хватит

Цитировать
Ч + 2 * Б = 1
Ч * N + Б * N = 1 // N - коэффициент подорожания

Система составлена правильно, но дальше идет тихий ужас. Там все гораздо проще. Вместе с тем, требуется один смекалистый шаг, чтобы избежать графиков, мат. анализа и машинной алгебры.

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 190
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #198 : 22 Мая 2018, 11:04:41 »
ramon13
Если нет условия на целочисленност ь в копейках цен и проче - в чем задача-то заключается?
Понятно, что если изначально чай с булочкой не пеерпрыгнули рубль. то потом(после 1го подорожания) чай (который после 1го подорожания меньше чем чай с булочкой до  1го подорожания) тоже не перепрыгнет через рубль
Об этом спрашивалось? тогда почему в условии не спрашивается "ОБЯЗАТЕЛЬНО ЛИ хватит..."?
« Последнее редактирование: 22 Мая 2018, 11:07:11 от Zatamon »

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 521
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #199 : 22 Мая 2018, 12:33:07 »
Zatamon,

Doctor Hedron решил задачу правильно (степень, видимо, обязывает), за исключением того, что конечное выражение не очевидно ученику 6-7 класса, которому она адресована. Пришлось делать численную и графическую проверку. Задача формулируется нарочито  не четко. В первый раз можно было купить чай и две булочки (про сдачу ничего не говорится). Во второй раз можно было купить чай с одной булочкой (опять про сдачу ни слова).
Поскольку решение предполагает единственный ответ при стоимости чая 0<x<1, то и уточнения ни к чему.

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 521
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #200 : 22 Мая 2018, 12:38:06 »
Цитировать
Понятно, что если изначально чай с булочкой...

Мне лично, тупарю, не понятно. Вот когда будет алгебраическое неравенство, тогда я посмотрю на него и скажу, что оно истинно.

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 190
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #201 : 22 Мая 2018, 12:45:15 »
Цитировать
Понятно, что если изначально чай с булочкой...

Мне лично, тупарю, не понятно. Вот когда будет алгебраическое неравенство, тогда я посмотрю на него и скажу, что оно истинно.
А чего там?
до всех подорожаний после чая с булочкой можно купить только булочку и все
После 1го подолрожания после чая можно купить подорожавшую(!) булочку и может еще и сдача останется
Отсюда до всего чай с булочкой стоит больше чем после 1го подорожания чай

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 190
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #202 : 22 Мая 2018, 12:57:33 »
В первый раз можно было купить чай и две булочки (про сдачу ничего не говорится).
Если в 1й раз есть сдача, то чожет и не хватить на чай. Потму что иначе это бесконечно работало бы с каким угодно количеством булочек
Короче пример такой:
48+2+2
подорожение на 100% (2кратное)
96+4
и еще на 100% (до 1.92) не хватит

В чем задача-то заключается?

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 521
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #203 : 22 Мая 2018, 13:08:59 »
Пример хреновый.
С такими ценами можно было бы купить и 3 булочки:
48+2+2+2 < 100

Вы неправильно расставляете акценты родного великого и могучего Русскаго языка!

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 190
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #204 : 22 Мая 2018, 13:15:15 »
Да поджалуйста, вот пример получше
0.94001,0.02,0.02
Подорожение в (1/(0.94001+0.02))=1,04165581608525 раз

0,94001   0,02   0,02
0,979166883678295   0,020833116321705   0,020833116321705
1,01995487930156   0,0217009367836845   0,0217009367836845

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 190
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #205 : 22 Мая 2018, 13:33:00 »
Да поджалуйста, вот пример получше
0.94001,0.02,0.02
Подорожение в (1/(0.94001+0.02))=1,04165581608525 раз

0,94001   0,02   0,02
0,979166883678295   0,020833116321705   0,020833116321705
1,01995487930156   0,0217009367836845   0,0217009367836845
И даже такое подойдет (где изначально все с целочисленными копейками)
0,9   0,04   0,04
0,957446808510638   0,0425531914893617   0,0425531914893617
1,01856043458579   0,0452693526482571   0,0452693526482571
коэффициент подорожания подбираем так, чтобы после 1го сумма чай+булочка была ровно 1 без сдачи, то есть 1/(0.9+0.04)
2е подорожание и чай больше 1

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 190
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #206 : 22 Мая 2018, 13:40:02 »
на самом деле писать дольше раз в 100, чем понять для себя, что если изначально со сдачей, то это может не работать
Потому, что представим себе, что это работает даже если изначально со сдачай (от противного)
Тогда пусть мы  можем на рубль купить чай с любым количеснвм (Н) булочек
Тогда чай с Н-2 булочкой назовем чаем
Тогда получается число булочек может быть любым и после каждого подорожания мы всегда не купим Н булочек, но купим Н-1
но этого не может быть никогда, потому что как только чай подорожает, допустим в 4 раза (если он изначально больше 25 коп, то добавми булочек) шаг подорожания станет точно больше 2х булочек

Осталось только циферки подобрать, но, тут мне повезло сразу же
« Последнее редактирование: 22 Мая 2018, 13:43:02 от Zatamon »

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 521
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #207 : 22 Мая 2018, 13:44:56 »
Ладно, первое равенство должно быть строгим, спасибо за ценное указание. Поищем оригинал задачи в интернете, находим:

До повышения цен чай с двумя пряниками стоил 1 р. Когда все цены вырос-
ли (на одинаковое число процентов), рубля стало хватать только на чай с одним пряником. Потом
цены опять выросли, причём на столько же процентов, как и в первый раз. Хватало ли после этого
рубля хотя бы на чай?

Оффлайн Zatamon

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 190
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #208 : 22 Мая 2018, 13:48:49 »
До повышения цен чай с двумя пряниками стоил 1 р.
Если бы с 1р. была сдача, то он стоил бы не 1р., а на 1р. "можно было бы купить..."

Оффлайн ramon13

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 521
  • Пол: Мужской
Re: Занимательная математика
« Ответ #209 : 22 Мая 2018, 14:02:42 »
Никто с этим не спорит.