Действительно, решение задачи № 15 сводится к составлению уравнения высокой степени, которое не решается с помощью радикалов. Даже после применения формул понижения степени тригонометрических функций, получим уравнение с тремя видами углов – искомым, двойным и четырёхкратным. Поэтому простоту и наглядность решения таких задач лучше всего увидеть графически.
Пусть длина стороны квадрата равна 1 ед., а величина острого угла прямоугольного треугольника равна Х. Тогда больший составляющий отрезок верхней стороны квадрата равен tg X, а меньший составляющий отрезок этой же стороны квадрата равен cos⁶X – это очевидно из рисунка условия задачи. Отсюда:
cos⁶X + tg X = 1 – уравнение (1),
или cos⁶X = 1 - tg X.
Т. к. острый угол в треугольнике имеет величину от 0ᵒ до 90ᵒ, то построим графики функций Y1 = cos⁶X и Y2 = 1 - tg X на отрезке от 0ᵒ до 90ᵒ. Точки пересечения этих графиков и дадут нам искомые корни уравнения (1). Заодно проверим решение ramon13. В решении используем обычный инженерный калькулятор в базе компьютера.
X Y1 Y2
0ᵒ 1 1
5ᵒ 0,977384 0,9125113
10ᵒ 0,912239 0,823673
15ᵒ 0,812199 0,73205
20ᵒ 0,688517 0,63603
25ᵒ 0,554184 0,539692
29ᵒ 0,447626 0,445691
30ᵒ 0,421875 0,4226497
34ᵒ 0,324672 0,3254915
35ᵒ 0,302125 0,2998
40ᵒ 0,20208 0,1609
45ᵒ 0,125 0
Дальше нет смысла строить, т. к. графики этих двух функций сильно расходятся. Теперь наглядно видно, что график функции Y1 сначала лежит выше графика функции Y2, затем ниже, потом снова выше, и точки пересечения лежат в 0ᵒ, между 29ᵒ и 30ᵒ, а также между 34ᵒ и 35ᵒ. Т. е. на отрезке от 0ᵒ до 90ᵒ уравнение (1) имеет 3 корня, один из которых не рассматриваем.
Прибегнув к помощи всё того же встроенного калькулятора и потратив 7-8 минут времени, приближённым методом деления отрезка пополам находим значения искомых точек пересечения функций до 5-й точной цифры после запятой:
~ 29,67623…ᵒ;
~ 34,30680…ᵒ - те же значения!
