TwistyPuzzles.RU

Общая категория => Общие вопросы => Тема начата: Николай от 02 Февраля 2016, 00:22:23

Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 02 Февраля 2016, 00:22:23
Сочинил на досуге вот такую незадачу.

Задача 1. Два друга Петя и Вася были страстными любителями кубика Рубика.
Однажды у Пети рассыпался кубик Рубика 3х3х3 и он случайным образом собрал его детали в полнофункциональную головоломку.
(http://s010.radikal.ru/i313/1602/35/450c57c14211.jpg)

Вася же на своём кубике переклеил все наклейки в случайном порядке.
(http://s020.radikal.ru/i712/1602/29/409f192e515a.jpg)
Как известно, не всякий кубик собирается. Поэтому возникает вопрос, вопросы:
1). У кого из мальчиков вероятность собрать свой кубик Рубика выше, чем у его друга.
2). Чему равна вероятность сборки каждого кубика?
Собранным считается кубик, у которого все грани одного цвета.

Картинок для иллюстрации насобирал в интернете.



Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 02 Февраля 2016, 03:39:52

1). У кого из мальчиков вероятность собрать свой кубик Рубика выше, чем у его друга.
А в чем вопрос-то? Понятно у кого, просто из соображений, что запутывание одного - частный случай запутывания другого (то же запутывание, но с ограничениями)
2). Чему равна вероятность сборки каждого кубика?
В одном случае 1/12 в другом, думать надо
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 02 Февраля 2016, 07:44:39
Согласен с Вами, уважаемый Zatamon!
Пункт 1) - действительно легко! Я даже выше написал, что придумал незадачу!
Хотя здесь не всё так просто, как Вы считаете. Дело в том, что хотя Вы правильно заметили, что что запутывание одного - частный случай запутывания другого (то же запутывание, но с ограничениями), но во втором случае появляется возможность собирать кубики нестандартной раскраски, что повышает вероятность сборки.
Вероятность в первом случае равна 1/12 - это достаточно известный факт.
Во втором случае всё значительно интересней! И тоже согласен с Вами, что надо думать!
Всего доброго!
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 02 Февраля 2016, 07:53:25
Согласен с Вами, уважаемый Zatamon!
Пункт 1) - действительно легко! Я даже выше написал, что придумал незадачу!
Хотя здесь не всё так просто, как Вы считаете. Дело в том, что хотя во втором случае возможно собирать кубики нестандартной раскраски, что повышает вероятность сборки.
Вероятность в первом случае равна 1/12 - это достаточно известный факт.
Во втором случае всё значительно интересней! И тоже согласен с Вами, что надо думать!
Всего доброго!
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 02 Февраля 2016, 08:09:14
но во втором случае возможно собирать кубики нестандартной раскраски, что повышает вероятность их сборки.
Согласен, ерунду написал. Но вот другая оценка:
Вероятность того, что на 6 центральных элементов лягут 6 разных цветов (а без этого он не решится) равна понятно какому произведению (1*45/53*36/52*27/51*18/50*9/49).  Уже последние 2 члена этого произведения уже дают чуть меньше 1/12

А вообще самая сложная часть вряд ли как-то прсто решается. Число вариантов 54!/(8!)^6  (это если считать разными раскраски, совмещаемые поворотами всего куба, но число таких поворотов невелико, так что..) - астрономическое число

Теоретически, конечно, можно попробовать помонтекарлить...
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 02 Февраля 2016, 09:18:57

А вообще самая сложная часть вряд ли как-то прсто решается. Число вариантов 54!/(8!)^6  (это если считать разными раскраски, совмещаемые поворотами всего куба, но число таких поворотов невелико, так что..) - астрономическое число
Мда, опять глупость написал
Пусть число всех возможных позиций на кубике не помню сколько =K
Тогда для каждой раскраски центральных элементов (коих 6!) суммарное число возможных состояний K*6!
или ито ли еще на что-торазделить или умножить деленное на вышеупомянутое 54!/8!^6 - нужная вероятность. Надо додумать ешще
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 02 Февраля 2016, 09:36:41

А вообще самая сложная часть вряд ли как-то прсто решается. Число вариантов 54!/(8!)^6  (это если считать разными раскраски, совмещаемые поворотами всего куба, но число таких поворотов невелико, так что..) - астрономическое число
Мда, опять глупость написал
Пусть число всех возможных позиций на кубике не помню сколько =K
Тогда для каждой раскраски центральных элементов (коих 6!) суммарное число возможных состояний K*6!
или ито ли еще на что-торазделить или умножить деленное на вышеупомянутое 54!/8!^6 - нужная вероятность. Надо додумать ешще

Да, похоже ам все значительно проще, чем я думал
Эта вероятность равна
8!^6 * K*6!/54! где К - число всех состояний К-Р, и равно оно должно быть... 12!*8!*2^12*3^8/(2*2*3)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 02 Февраля 2016, 10:37:10
Эта вероятность равна
8!^6 * K*6!/54! где К - число всех состояний К-Р, и равно оно должно быть... 12!*8!*2^12*3^8/(2*2*3)
Чуть облажался
Число всех позиций, которое может сделать второй там надо делитьна 9!^6 а не на 8!^6
Отсюда вся веростность равна
9!^6 * 6!*12!*8!*2^10*3^7/54! вангую, что число это мизерное
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 02 Февраля 2016, 22:47:24
Отсюда вся веростность равна
9!^6 * 6!*12!*8!*2^10*3^7/54! вангую, что число это мизерное

О! Я рад, Zatamon!
У меня такой же ответ!
Только я считал чуть иначе!
Но всё равно, ответы совпадают!
Я хотел убедиться в том, что я правильно решил задачу!
Дело в том, и Вы это знаете, что  в комбинаторике много подводных камней, и можно легко ошибиться в даже простой задачке, если что-то не учесть!
Спасибо, что откликнулись!
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 03 Февраля 2016, 07:18:16
после сокращения просуммировал на компе логарифмы получил
-35,7163209460129
Это логарифм то вероятности


select sum(a) from (
select (ln(column_value)) a
from table(split_strings2(
'9  2  4  6  8  9  2  3  4  2  3  8  9  2  3  4  2  2  2  2  2  2  3  3  3  3' -- Это числитель того, что осталось после сокращения
, '  '))
union all
select -(ln(column_value)) a
from table(split_strings2(
'13 17 19 11 23 13 29 31 11 17 37 19 13 41 43 11 23 47 25 17 13 53' -- Это знаменатель того, что осталось после сокращения
,' '))
)

Зы да не нужно было никакого ручного сокращения с риском ошибиться
select sum(a) from (
select -ln(level) a
from dual connect by level<=54
union all
select 6*ln(level) a
from dual connect by level<=9
union all
select ln(level) a
from dual connect by level<=6
union all
select ln(level) a
from dual connect by level<=12
union all
select ln(level) a
from dual connect by level<=8

union all
select ln(2) a
from dual connect by level<=10
union all
select ln(3) a
from dual connect by level<=7
)

тот же результат
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 03 Февраля 2016, 07:54:14
Какая маленькая вероятность!
Можно сказать почти невероятное событие - собрать кубик после случайной переклейки!
Но до программирования я далек, если не считать Бейсик школьного уровня!
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 03 Февраля 2016, 17:18:34
     Эту задачу с кубиком Рубика, но близкую к школьной тематике, я обнаружил в замечательной книге А.Ю. Эвнина «150 красивых задач для будущих математиков». Оказывается, её предлагали для решения на «Математическом конкурсе в ЮУрГУ».

Задача 2. Через центр кубика Рубика провели плоскость, перпендикулярную его диагонали. Сколько маленьких кубиков пересекла эта плоскость?

 Конечно, в этой задаче подразумевается, что кубик Рубика без своего внутреннего механизма, и состоит из 27 единичных кубиков. Вспомните, как когда в школе Вы строили сечения фигур плоскостью.

(http://s017.radikal.ru/i425/1602/cc/62ba8b598c84.png) (http://radikal.ru/big/a2295435129e46ce92eb07edd6523b23)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 03 Февраля 2016, 17:24:58


Задача 2. Через центр кубика Рубика провели плоскость, перпендикулярную его диагонали. Сколько маленьких кубиков пересекла эта плоскость?

 Конечно, в этой задаче подразумевается, что кубик Рубика без своего внутреннего механизма, и состоит из 27 единичных кубиков. Вспомните, как когда в школе Вы строили сечения фигур плоскостью.

19?

Очевидно, она пересекает центральный, самый невидимый кубмк так же, как и весь куб. А чтобы увидть, как она пересекает соседние с центральным - ко всему кубу пристраиваем мысленно соседние такие же кубы. Полчается, что она не пересекает тольок 4 кубика в центре рисунка и очевидно 4 с другой стороны
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 03 Февраля 2016, 17:58:22
Вы правы, Zatamon!!! Молодец!
Я не успеваю подкладывать задачи!!!
Студенты не так решали на конкурсе.
Я решал так: Аккуратно построил сечение этого куба. Очевидно, что сечением кубика 3х3х3 указанной плоскостью является правильный шестиугольник, который закрашен на рисунке.  При этом секущая плоскость будет пересекать маленькие кубики. Их сечения представляют либо маленькие правильные шестиугольники, либо треугольники. Пустот в кубе 3х3х3 нет, значит, секущая плоскость пересекает 7+6*2=19 маленьких кубиков.

(http://s017.radikal.ru/i420/1602/15/692c50158693.png) (http://radikal.ru/big/39e0bfb5a58b4907b79c0fcbd58a4859)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 03 Февраля 2016, 22:27:20
Задача 3. Гирлянда из квадратов содержит 54 единичных квадрата, которые  приклеены к нитке так, что нить проходит по диагонали квадрата и вершины соседних квадратов совпадают. После чего нить связана в кольцо, т.е. вершина первого квадрата совпадает с вершиной последнего.  Можно ли кубик Рубика обклеить этой гирляндой так, чтобы каждый квадрат гирлянды накрывал полностью один единичный квадрат поверхности кубика Рубика 3х3х3. 

(http://s018.radikal.ru/i510/1602/8b/09694dd133fb.png) (http://radikal.ru/big/97ae38a56966459f9f6e35844db38a39)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 04 Февраля 2016, 03:35:24
Задача 3. Гирлянда из квадратов содержит 54 единичных квадрата, которые  приклеены к нитке так, что нить проходит по диагонали квадрата и вершины соседних квадратов совпадают. После чего нить связана в кольцо, т.е. вершина первого квадрата совпадает с вершиной последнего.  Можно ли кубик Рубика обклеить этой гирляндой так, чтобы каждый квадрат гирлянды накрывал полностью один единичный квадрат поверхности кубика Рубика 3х3х3. 

Ну вроде так:
Раскрасим вершины малых квадратиков на кубе в шахматном порядке. Замечу, что сами квадратики это сделать невозможно, а их вершины - возможно. Чтоы это понять поставим куб вертикально на какую-нибудь большую диагональ и раскрашиваем нижнюю вершину в белый, следующие по высоте в черный, следующие по высоте в белый итд
далее заметим, что все узлы этой ленты должны лежать в вершинах одного цвета. Ввиду симметрии такой раскраски на кубах нечетного размера - неважно какого цвета.
Ну и далее рассмотрим угловую вершину нашего цвета. Такая существует, потому что она или первая или последняя в построении раскраски. Убедимся, что вокруг нее ничего уложить невозможно
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 04 Февраля 2016, 19:05:21
Вы просто молодец!
Я понял, Zatamon, что Вы знакомы с приема олимпиадной математики!
Вы или призер всероссийской олимпиады по математики, или просто классный математик, может и программист!
Как всё понятно  становится, если раскрасить так вершины! Ну просто  - очевидно!!
(http://s020.radikal.ru/i720/1602/c5/85a30b03eacc.png) (http://radikal.ru/big/979ecc5d523e42c99d00f313c3207756)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 05 Февраля 2016, 13:45:16
Просто выпускник мехмата НГУ:-)
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 05 Февраля 2016, 15:34:58
Задача 3. Гирлянда из квадратов содержит 54 единичных квадрата, которые  приклеены к нитке так, что нить проходит по диагонали квадрата и вершины соседних квадратов совпадают. После чего нить связана в кольцо, т.е. вершина первого квадрата совпадает с вершиной последнего.  Можно ли кубик Рубика обклеить этой гирляндой так, чтобы каждый квадрат гирлянды накрывал полностью один единичный квадрат поверхности кубика Рубика 3х3х3.
А я эту задачу решил по-другому.
Обклеивание каждой грани куба такой гирляндой делаем из угла и заканчиваем углом, который находится по диагонали. Обозначим этот "обход" грани линией. Теперь представим, что куб 3х3х3 прозрачный и установлен на одну вершину так, что диагональ куба вертикальна. Если посмотреть теперь на куб из зенита, то рисунок образованный линиями "обходов" будет представлять собой равносторонний треугольник с тремя биссектрисами, соединёнными в центре этого треугольника. Теперь попробовав начертить этот треугольник с биссектрисами "одним росчерком", мы убедимся, что одну из биссектрис мы "обойти" не сможем (теория графов).
На деле оно так и получается - 5 граней мы обойдём гирляндой без проблем и зайдём в тупик. Если же нарушить правило обхода 5-й грани по линии "обхода" из угла в угол по диагонали, и после обхода 6 штук квадратиков перекинуться на 6-ю грань, то в ней мы сможем обойти только 6 штук квадратиков. Затем вновь вернувшись на 5-ю грань, и обойдя оставшиеся 3 штуки квадратика, мы так же зайдём в тупик. В итоге у нас будет обклеено 51 штука квадратиков, и снова останется не пройденной диагональ 6-й грани, состоящая из этих 3-х пресловутых квадратиков - подтверждение теории графов при обходе фигуры одним росчерком пера.

P. S. Чтобы обойти 51 клеточку на кубе 3х3х3, в реалии нужно будет гирлянду разрезать и превратить из круговой в прямую, иначе нитка физически не дотянется. Я думаю, это и так понятно.
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 05 Февраля 2016, 15:57:34
Задача 4. (Уже как-то была на старых форумах)
Мальчик Петя получил посылку с не обклеенным кубиком 3х3х3 и набором наклеек. При обклеивании 2-х последних сторон, он случайно перепутал чередование цветов граней стандартной расцветки. Какое минимальное количество пар наклеек ему надо переклеить, чтобы расцветка куба 3х3х3 стала стандартной? Рассмотреть оба случая конструкций центров куба.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 23 Октября 2016, 11:23:58
В задаче 4 ответ 7 пар. Правильно, pytlivyj?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 23 Октября 2016, 11:36:46
Задача 5. Все грани кубической коробки для хранения кубика Рубика мальчик покрасил в случайном порядке красками, цвет которых совпадает с цветами граней кубика Рубика, причем в коробке каждым цветом закрашено ровно по одной грани. Может ли девочка вложить кубик в коробку так, чтобы цвета соответствующих граней кубика и коробки не совпадали.

(http://s017.radikal.ru/i432/1610/87/c6fa8a2621dd.jpg) (http://radikal.ru)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Kelvinboy от 23 Октября 2016, 14:12:38
Задача 5. Все грани кубической коробки...

Если коробка покрашена со всех сторон в один цвет, то не удастся.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 23 Октября 2016, 16:03:03

Если коробка покрашена со всех сторон в один цвет, то не удастся.


Уважаемый Kelvinboy, я уточнил условие задачи:  для покраски коробки мальчик использовал все шесть цветов
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 23 Октября 2016, 16:25:14
Не понимаю смысл задачи. Если мальчик перепутал цвета противоположных граней, поменял белый-желтый, красный-оранжевый, синий-зеленый, то со стандартным кубом они не совпадут нигде. Или развернул наклейки по оси 3-его порядка, или 6-ого. Но чего-то слишком просто.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 23 Октября 2016, 18:13:25
Уважаемый ramon13!
Мальчик попутал 6 цветов граней как угодно, необязательно парами. Кубик собранный.
Смысл задачи заключается в том, чтобы выяснить, всегда ли девочка сможет собранный кубик вложить в коробку любой раскраски мальчика так, чтобы  не было одноцветной пары граней  у коробки и кубика.
Такую задачу предлагали решить девятиклассникам на математической олимпиаде. 
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 23 Октября 2016, 23:33:28
В задаче 4 ответ 7 пар. Правильно, pytlivyj?
Ответ не верный. Подумайте ещё чуть-чуть. Кроме того, случай с разными конструкциями центров не указан.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 24 Октября 2016, 08:56:51
Смысл задачи заключается в том, чтобы выяснить, всегда ли девочка сможет собранный кубик вложить в коробку любой раскраски мальчика так, чтобы  не было одноцветной пары граней  у коробки и кубика.

Не до конца уверен в своем решении, но вроде бы всегда
1. Заметим перебором, что для квадратика рубика это всегда возможно
2. Теперь берем кубик и крутим в коробке по какой-нибудь оси пока у четырех меняющихся граней это не достигнем, а достигнем мы это потому, что (1)
3. Меняем ось (теперь у вершин цвета будут несовпадать) и повторяем (2)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 30 Октября 2016, 20:25:53
Николай, между "может вложить" и "всегда может вложить" огромная разница! Я ответил, что в принципе может, и указал примеры, а оказывается задача была такая:

Коробочку взяли и случайно раскрасили шестью различными цветами, теми же, что имеет кубик-рубик. Всегда ли можно вложить кубик в коробочку так, чтобы цвета на коробочке и на кубике нигде не совпали?

Понял, как переформулировать эту задачу и коробочку выкинуть за ненадобностью:

Наклейки центров случайно переклеяли. Всегда ли будет возможность собрать узор "окошки"?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 30 Октября 2016, 21:52:52

Мальчик попутал 6 цветов граней как угодно, необязательно парами. Кубик собранный.
Смысл задачи заключается в том, чтобы выяснить, всегда ли девочка сможет собранный кубик вложить в коробку любой раскраски мальчика так, чтобы  не было одноцветной пары граней  у коробки и кубика.


Уважаемый ramon13!
Я с Вами полностью согласен в огромной разнице между "может вложить" и "всегда может вложить", поэтому и исправил свою ошибку в первоначальной формулировке и привел уточняющую формулировку. Как раз то о чем вы написали выше.
Что касается убрать коробку и сформулировать задачу в форме возможности собрать узор "окошки", то думаю, что такой вариант задачи имеет право быть, и интересен по своему!
Удачи Вам и спасибо за отклик!
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 07 Января 2017, 22:19:58
РОЖДЕСТВЕНСКАЯ ЗАДАЧА (Небольшое отступление от темы).

В африканской саванне находится небольшое озеро, подпитываемое родниками. Местные обитатели саванны ходят туда на водопой. Стадо слонов в количестве 183 особи может выпить это озеро всего за 1 день. Стадо слонов из 37 особей выпьет это озеро за 5 дней. А может ли 1 слон выпить это озерцо? Если сможет, то за какое время?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Леннон от 08 Января 2017, 00:28:09
Если сравнить количество слонов и дней, то напрашивается вывод, что озеро пополняется родниками медленно. За пять дней мало успевает восстановиться. Поэтому один слон вполне может выпить, но за очень долгий срок - 220-257 дней.
Прикинул примерно, не математик :)
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 08 Января 2017, 11:18:25
В математических задачах положено давать точные ответы, тем более она простая - решается обычными арифметическими действиями. Думай.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 08 Января 2017, 13:56:10
Леннон, Пытливый! А что у нас с задачкой про кубик и коробочку? Как переклеить наклейки центров, чтобы окошки не собирались?

Что касается слонов - красивая задачка, 365 дней получается, ровно год))
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 08 Января 2017, 17:03:11
Да, действительно, слон один будет пить весь год (прямо каламбур какой-то получается).  :)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 08 Января 2017, 17:57:12
Для Леннона) За какое время озеро наполнится обратно?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Леннон от 08 Января 2017, 18:03:17
Надо подумать) В таких вот задачах я плаваю.
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 08 Января 2017, 21:44:52
Если не сможешь решить, могу кратко накидать ход решения этой задачи прямо здесь на форуме.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Леннон от 08 Января 2017, 23:41:33
Кажется я понял...

a = 183
a 0,2а = 37 - 0,8b

36,6 = 37 - 0,8b
0,8b = 0,4
b = 0,5

183 + 91,5 + 45,75 + 22,875 + 11,4375 + 5,71875 + 2,859375... + ~1,43 + ~0,715 = ~365.
(пока слон пьет в течении 183 дней - в него успевает влиться воды запасом ещё на почти 46 92 дня. Т.е. наполовину. Пока пьет в течении следующих 46 92 дней - вливается ещё воды... на четверть озера  и тд).
А наполнится обратно, видимо за 366 дней. За день - 1/366 часть.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 09 Января 2017, 08:42:19
0.5 там действительно вылезает. Но остальное все неправильно(

Цитировать
183 + 91,5 + 45,75 + 22,875 + 11,4375 + 5,71875 + 2,859375... + ~1,43 + ~0,715 =

Эта бесконечная прогрессия равна 366, что является неправильным ответом для задачи
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Леннон от 09 Января 2017, 10:47:32
ОК, сдаюсь. Решение в студию!
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 09 Января 2017, 11:53:24
Начнём с того, что по условию задачи стадо из 183 слонов выпивает озеро за ОДИН день. Следовательно, пока проходит 1 день на утоление жажды, озеро в это время тоже пополняется родниками. Значит, объём озера меньше 183 ед. на величину суточного пополнения, которую обозначим через Х. Тогда в случае с 5-ю слонами имеем:

(183-Х)+5*Х=37*5
4*Х=185-183
Х=0,5
Т. е. суточное пополнение 0,5 ед., а объём озера равен 183-0,5=182,5 ед.

Теперь рассмотрим для одного слона, обозначив через Y количество дней:

182,5+0,5*Y=Y
0.5*Y=182,5
Y=365

Ответ: слон будет пить все 365 дней.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 09 Января 2017, 12:45:27
Интересная задача!
Как Вам такое решение, без уравнений?
37 слонов за пять дней выпивают столько же, сколько  37·5 = 185  слонов за один день. Разница в два слона объясняется тем, что за четыре лишних дня из ключей "натекает" столько воды, сколько два слона выпивают за день. Таким образом, ключи восполняют за день половину дневной порции слона. А в озере (без ключей) 182,5 дневных порций слона. Один слон половину дня пьет воду "из озера", а половину – "из ключей". Поэтому ему понадобится  182,5·2 = 365  дней.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 09 Января 2017, 12:51:37
0.5(183*5-185) = 365
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Леннон от 09 Января 2017, 13:26:56
Мда, а я замудрил  :D
Беру на заметку.
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 09 Января 2017, 14:28:48
Цитировать
Как Вам такое решение, без уравнений?
Уравнения здесь использованы для визуальной наглядности и простоты объяснения.
Кстати, у вас Николай в объяснении также косвенным образом присутствуют уравнения с неизвестными, если текст переложить в цифровой вид. :)

Ладно, задачка №2.
Вся семья выпила по одной чашке кофе с молоком, при этом Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 09 Января 2017, 15:33:36
Без уравнений решать гораздо сложнее, чисто логически. Но я испорчен профильным образованием, написал два уравнения с двумя неизвестными да решил, всего то.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 10 Января 2017, 08:31:31
x/4 + y/6 = 1

x=2, y=3

2+3=5
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 10 Января 2017, 12:34:34
Ход решения не понятен - по нему получается, что молоко (х) пили только часть людей, и кофе (у), соответственно, тоже только часть людей.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 11 Января 2017, 08:01:49
Лан, если от кубиков отошли, то вот вам задачка, задавал когда-то на другом форуме: http://lernu.net/eo/forumo/temo/15888/2
Белоснежка собирается устроить большой праздник. Для этого праздника уже закуплено 2180 бочек водки. Некий редиска успел проникнуть в погреб с водкой и отравить ровно одну бочку. Об этом яде известно, что любой, кто примет хоть немножко, умрет в случайное время в течение ближайших 24 часов.
Праздник будет через 48 часов. У белоснежки есть 7 гномов, которыми она может пожертвовать. Может ли она определить, какая конкретно бочка отравлена?
А если число бочка 2200?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 11 Января 2017, 08:36:47
Цитировать
Ход решения не понятен - по нему получается, что молоко (х) пили только часть людей, и кофе (у), соответственно, тоже только часть людей.

Всего семья выпила две чашки молока и три чашки кофе, хотя у каждого коцентрация молока могла быть своя. Кате вот налили по полчашки того и другого. Пять чашек выпили - пять человек в семье.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 11 Января 2017, 08:38:03
Цитировать
Лан, если от кубиков отошли

Заведите новую тему - "Занимательные задачи"
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 11 Января 2017, 09:00:53
Заведите новую тему - "Занимательные задачи"

Поддерживаю!!!!
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 11 Января 2017, 09:17:39
Возвращаю в тему!
Эту задачу "Шифровка на кубике Рубика"  предлагали десятиклассникам на всероссийской олимпиаде школьников по криптографии.
Мне не удалось её раскусить.
Привожу картинку и полный текст:

Задача 6.  Для шифрования фразы был взят кубик Рубика с нанесёнными на гранях русскими буквами.  Развертка кубика показана на рисунке. Три его грани повернули по часовой стрелке на 90о. При этом грань с меньшим номером поворачивалась раньше, чем грань с большим номером. Затем каждая буква фразы отыскивалась на грани кубика и заменялась на букву этой же грани, которая следует за ней по часовой стрелке (так, например, для рисунка 1 буква А перейдет в букву Б, буква П – в С). Буквы, находящиеся в центре грани, не заменялись. Известно, что перед шифрованием запятая во фразе заменялась на ЗПТ, точка – на ТЧК, а пробелы пропускались. Получилось: ЕПОЕЬРИТСГХЖЗТЯПСТАПДСБИСТЧК. Прочтите исходное сообщение.

Попробуйте свои силы в расшифровке этого сообщения, я лишь скажу, что знаю только ответ.
 
(http://s02.radikal.ru/i175/1701/ea/c6bb54d914da.png) (http://radikal.ru)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 11 Января 2017, 10:27:32
Возвращаю в тему!
Эту задачу "Шифровка на кубике Рубика"  предлагали десятиклассникам на всероссийской олимпиаде школьников по криптографии.
А чем тна той олимпиаде пользоваться можно?
Вродже как всего 20 вариантов, правда писаныны для моделирования на компе очень много. может вечером дома пару часов потрачу, но на 20 вариантов слишком много писанины на компе
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 11 Января 2017, 16:38:54
Вот все возможное
123:ДВЖДЫМАТЛНОЗХТРВЛТСВЬЛУАЛТЧК
124:ДСМДЫУБТЮЩВЗОТРСЮТЛСЬЮАБЮТЧК
125:ДВМДЫУЖТЮНОЬЛТГВЮТСВРЮАЖЮТЧК
126:ДВЖДЫМАТЛНОЗХТРВЛТСВЬЛУАЛТЧК
134:ДОВДЫШЖТЮБУРПТМОЮТХОЬЮСЖЮТЧК
135:ДЮМДЫШЬТЕНОХЛТРЮЕТВЮБЕСЬЕТЧК
136:ДОМДЫИЖТЮБУЯЛТРОЮТВОЬЮШЖЮТЧК
145:ДВАДЫМЖТЮНОУХТРВЮТЗВСЮЬЖЮТЧК
146:ДВМДЫСРТШНОУЛТГВШТЖВЬШАРШТЧК
156:ДОЖДУСЬТЕБЯЗПТМОЕТВОРЕНЬЕТЧК
234:ЛГВЛЫМДТЕУИЗРТЬГЕТСГБЕХДЕТЧК
235:ДНРДЫМЖТЕУАЬХТГНЕТВНБЕСЖЕТЧК
236:ДГРДЫЖБТХМИЗОТЬГХТВГУХСБХТЧК
245:ХНРХЫВМТПЬАЗИТУНПТБНГПЕМПТЧК
246:ДНПДЫУГТЕБАРИТЬНЕТВНЛЕЗГЕТЧК
256:ЛГВЛИУМТЫНОЬЕТРГЫТЗГБЫСМЫТЧК
345:ЬЮМЬЫШАТПНОРЛТСЮПТЗЮЖПХАПТЧК
346:БВМБЫЕАТШСУРЛТЬВШТХВГШЖАШТЧК
356:ЛЗВЛРШМТЮСИХЕТГЗЮТЫЗЬЮАМЮТЧК
456:ЛЮВЛУМБТПЬИРХТСЮПТЫЮЖПЗБПТЧК

Обратите вимание на 156
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 11 Января 2017, 23:05:57
Все правильно!156 вариант ДОЖДУСЬТЕБЯЗПТМОЕТВОРЕНЬЕТЧК   Дождусь тебя, мое творение.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: JASON от 11 Января 2017, 23:14:23
Цитировать
Как Вам такое решение, без уравнений?
Уравнения здесь использованы для визуальной наглядности и простоты объяснения.
Кстати, у вас Николай в объяснении также косвенным образом присутствуют уравнения с неизвестными, если текст переложить в цифровой вид. :)

Ладно, задачка №2.
Вся семья выпила по одной чашке кофе с молоком, при этом Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?

Катя выпила 1/4 часть всего молока + 1/6 часть всего кофе = 10/24 от всего объема имеющейся жидкости входит в одну чашку.

Теперь сделаем следующие допущения:
1. Чашки оставшихся членов семьи не более чашки Кати.
2. Все оставшиеся члены семьи пили кофе с молоком в одинаковой пропорции.

3/4 части оставшегося молока + 5/6 частей оставшегося кофе = 38/24 оставшегося объема жидкости, разливаем по чашкам

38/24 : 10/24 = 3,8  округляем до 4 чашек - еще 4 члена семьи + Катя = 5 членов семьи.

Одного члена семьи обделили не долив 1/12 часть жидкости. :)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: JASON от 11 Января 2017, 23:16:33
Вот все возможное
123:ДВЖДЫМАТЛНОЗХТРВЛТСВЬЛУАЛТЧК
124:ДСМДЫУБТЮЩВЗОТРСЮТЛСЬЮАБЮТЧК
125:ДВМДЫУЖТЮНОЬЛТГВЮТСВРЮАЖЮТЧК
126:ДВЖДЫМАТЛНОЗХТРВЛТСВЬЛУАЛТЧК
134:ДОВДЫШЖТЮБУРПТМОЮТХОЬЮСЖЮТЧК
135:ДЮМДЫШЬТЕНОХЛТРЮЕТВЮБЕСЬЕТЧК
136:ДОМДЫИЖТЮБУЯЛТРОЮТВОЬЮШЖЮТЧК
145:ДВАДЫМЖТЮНОУХТРВЮТЗВСЮЬЖЮТЧК
146:ДВМДЫСРТШНОУЛТГВШТЖВЬШАРШТЧК
156:ДОЖДУСЬТЕБЯЗПТМОЕТВОРЕНЬЕТЧК
234:ЛГВЛЫМДТЕУИЗРТЬГЕТСГБЕХДЕТЧК
235:ДНРДЫМЖТЕУАЬХТГНЕТВНБЕСЖЕТЧК
236:ДГРДЫЖБТХМИЗОТЬГХТВГУХСБХТЧК
245:ХНРХЫВМТПЬАЗИТУНПТБНГПЕМПТЧК
246:ДНПДЫУГТЕБАРИТЬНЕТВНЛЕЗГЕТЧК
256:ЛГВЛИУМТЫНОЬЕТРГЫТЗГБЫСМЫТЧК
345:ЬЮМЬЫШАТПНОРЛТСЮПТЗЮЖПХАПТЧК
346:БВМБЫЕАТШСУРЛТЬВШТХВГШЖАШТЧК
356:ЛЗВЛРШМТЮСИХЕТГЗЮТЫЗЬЮАМЮТЧК
456:ЛЮВЛУМБТПЬИРХТСЮПТЫЮЖПЗБПТЧК

Обратите вимание на 156

Восхищаюсь вашим терпением!!!
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 11 Января 2017, 23:26:21
Одного члена семьи обделили не долив 1/12 часть жидкости. :)
Никого не обделили, все члены семьи выпили по одинаковой по объёму чашке, только с разными пропорциями смешанных напитков. ramon13 правильно решил и объяснил пропорцию смешанных напитков у Кати. У тебя в решении прослеживается одинаковые объёмы молока и кофе, а они относятся как 2:3.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 12 Января 2017, 02:58:28


Восхищаюсь вашим терпением!!!
окло 250 строк кода основного класса, большую часть кторых надо было делать внимателньо. Да, больше часа ушло:-)

PS Классик, тоже на яве, который решает шахматные задачки (для телефона себе приложение писал) всего в 4 раза длиннее, там около 1000 строк
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 12 Января 2017, 07:42:24
окло 250 строк кода основного класса, большую часть кторых надо было делать внимателньо. Да, больше часа ушло:-)

А ученикам отводилось 4 часа на 4 задачи!!
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 12 Января 2017, 07:47:31
окло 250 строк кода основного класса, большую часть кторых надо было делать внимателньо. Да, больше часа ушло:-)

А ученикам отводилось 4 часа на 4 задачи!!
Ну вот, эта задача потебовала примерно 70-80 минут одного ученика. Команда большая? Или задания индивидуальные?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 12 Января 2017, 08:01:37
Эта олимпиада была индивидуальная! Хотя бывают и командные соревнования!
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 12 Января 2017, 08:08:08
Эта олимпиада была индивидуальная! Хотя бывают и командные соревнования!
А пользоваться компом можно?
В смысле прийти со своим ноутом с готовыми классами (подстановки там, еще что-нибудь...)
Ну эта задача потребовала несколько больше часа, но ведь могут найтись и те, которые сэкономят время?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 12 Января 2017, 08:27:46
Можно пользоваться компом, который представляет школа.
Компы предоставляются на выбор, в зависимости от того, на каком языке ученик программирует.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: JASON от 12 Января 2017, 21:40:27
Одного члена семьи обделили не долив 1/12 часть жидкости. :)
Никого не обделили, все члены семьи выпили по одинаковой по объёму чашке, только с разными пропорциями смешанных напитков. ramon13 правильно решил и объяснил пропорцию смешанных напитков у Кати. У тебя в решении прослеживается одинаковые объёмы молока и кофе, а они относятся как 2:3.

pytlivyj, это решение я написал как шутку  ;) :)

Первый раз я решал точно также как ramon13. Только уравнение не составлял. Сколько нужно взять чашек, чтобы у Кати было 1/4 молока. Ответ 2. Сколько нужно взять чашек, чтобы у Кати было 1/6 кофе. Ответ 3. Всего 5 чашек - значит 5 человек.
Но в условии задачи ни про одинакоый объем жидкости в чашках, ни про пропорции кофе и молока, ни про величину чашек...
Спрашивается сколько членов семьи. Ответ 5. Следовательно и второе решение можно считать верным  :)

Расчитаем разницу объема жидкости у Кати и у остальных:

у Кати 1/4 + 1/6 = 10/24 = 20 /48
у остальных  38/24 : 4 = 19/48
разница 1/48, что составляет 0,02%.

Возьмем объем чашки 200 г, тогда 1/48 - 4,17 г. Чайная ложка!
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BA%D0%B0 (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BA%D0%B0)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 12 Января 2017, 22:12:51
Друзья, прочитайте тему этой ветки!
Давайте  соблюдать порядок!
Не посчитайте меня вредным, тем более противником математики!
Наоборот, я поклонник математики! И даже принял участие в обсуждении одной из задачек!
Но я то думал, что это задачка будет исключением! Я понимаю, что математические задачки могут затягивать в свои пленительные сети!
Затормозим!
Тем более, что создать тему "Заниматнльная математика" можно без труда!
Что я пожалуй и сделаю!
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 12 Января 2017, 22:23:12
Задача 7. Грани кубика Рубика поворачивают в некотором порядке. Доказать, что повторяя эту последовательность поворотов, мы рано или поздно вернёмся к исходному состоянию кубика.

В материалах ежегодника "Математическое просвещение" встретилась такая задача про кубик Рубика.
Решил поделиться с заинтересованной аудиторией! Считаю, что именно на нашем форуме собрались такие люди!
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 13 Января 2017, 00:02:49
Задача 4. (Уже как-то была на старых форумах)
Мальчик Петя получил посылку с не обклеенным кубиком 3х3х3 и набором наклеек. При обклеивании 2-х последних сторон, он случайно перепутал чередование цветов граней стандартной расцветки. Какое минимальное количество пар наклеек ему надо переклеить, чтобы расцветка куба 3х3х3 стала стандартной? Рассмотреть оба случая конструкций центров куба.
В задаче 4 ответ 7 пар. Правильно, pytlivyj?
Ответ не верный. Подумайте ещё чуть-чуть. Кроме того, случай с разными конструкциями центров не указан.
Решил таки написать уже ответ.
На кубе со съёмными центральными крышечками нужно переклеить всего 4 пары наклеек, а с обычными центрами - 5 пар наклеек.
Визуально это легко прослеживается на кубе.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 13 Января 2017, 09:42:24
Восхищаюсь вашим терпением!!!
На самом деле в яве можно идентификаторы русскими буквами называть. Если бы я это тогда догадался, то писанина бы потребовала меньше времени и сосредоточения
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 13 Января 2017, 10:17:28
Цитировать
Задача 7. Грани кубика Рубика поворачивают в некотором порядке. Доказать, что повторяя эту последовательность поворотов, мы рано или поздно вернёмся к исходному состоянию кубика.

Кубик-Рубик и число Дьявола

Дьявол мучает бездельников, попавших в Ад, тем, что заставляет их повторять некоторую произвольную последовательность поворотов до тех пор, пока кубик не соберется обратно сам собой. Как далеко можно зайти, повторяя определенную последовательность поворотов?

Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 13 Января 2017, 11:32:52
Цитировать
Задача 7. Грани кубика Рубика поворачивают в некотором порядке. Доказать, что повторяя эту последовательность поворотов, мы рано или поздно вернёмся к исходному состоянию кубика.

Кубик-Рубик и число Дьявола

Дьявол мучает бездельников, попавших в Ад, тем, что заставляет их повторять некоторую произвольную последовательность поворотов до тех пор, пока кубик не соберется обратно сам собой. Как далеко можно зайти, повторяя определенную последовательность поворотов?
Ну, число повторений обязателньо должно делить число состояний кубика рубика (несложная теорема теории групп).
Где-то в педивикии кажется читал ,что максимальный порядок элементов группы кубика-рубика тыщу с чем-то (больше тыщи, но меньше 2 тыщ) Но вот обосновать не могу
А вот о том, что обязательно вернемся в начальную позицию - просто доказывается, так же, как и то, что этих число повторений будет обязательно делить число возможных  позиций кубика рубика

PS Вот чего в педивикии пишуть:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%BA%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A0%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BA%D0%B0
Цитировать
Наибольший порядок элемента в {\displaystyle G} G равен 1260. Например, последовательность ходов {\displaystyle (R\ U^{2}\ D^{\prime }\ B\ D^{\prime })} (R\ U^{2}\ D^{{\prime }}\ B\ D^{{\prime }}) необходимо повторить 1260 раз[9], прежде чем кубик Рубика вернётся в исходное состояние
но это не знаю, как обосновать
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 13 Января 2017, 12:15:39
А как найти эту цифру - 1260??
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 13 Января 2017, 12:21:38
А как найти эту цифру - 1260??
оттуда же
Цитировать
В июле 1981 года Jesper C. Gerved и Torben Maack Bisgaard доказали, что группа кубика Рубика содержит элементы 73 различных порядков от 1 до 1260, и нашли число элементов каждого возможного порядка
Если это не чушь, то педивикия намекает на то, что это нетривиальная работа. по кр мере полностью. (у более простых утверждений авторов и дату доказательства не пишут)
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 13 Января 2017, 12:54:49
Да нет, это число находится несложно как произведение неких наименьших общих кратных, вопрос в деталях - чего и как.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 13 Января 2017, 13:03:04
Да нет, это число находится несложно как произведение неких наименьших общих кратных, вопрос в деталях - чего и как.
?
S_48 возможно, но получится куда больше 1260, а тут как?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 07 Февраля 2017, 07:37:14
Ну давайте и сюды задачку
Я думаю, у многих есть кубоид 3х3х4. Больше или меньше у него возможных позиций, чем у стандартного кубика-рубика 3х3х3?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 08:44:20
У меня нет кубоида, но я подозреваю, что углы у него дохлые, не способные к смене ориентации. Так что множитель 3^7 исчезает.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 15:23:29
Таак... Попробуем подсчитать. Точный расчет, конечно, будет содержать ошибки. НО основная мысль верна - углы и ребра кубоида НЕ МОГУТ менять ориентацию!!! Это наводит на грустные мысли не в пользу кубоида(

1) 8 углов переставляются 8! способами. Ориентация неизменна.
2) 8 ребер квадратных граней переставляются 8! способами. Ориетация неизменна.
3) 8 ребер прямоугольных граней переставляются 8! способами. Ориентация жестко задана.
5) 2 центра квадратных граней, кажется, всегда собраны.
6) 8 центров прямоугольных граней дают 8! комбинаций с фактором вырождения 2^4
7) вращение в пространстве вокруг вертикальной оси через квадратные грани дает фактор вырождения 4

Итого получается 8!^4 / 2^6 = 41 миллион миллиардов, что в 1000 раз меньше чем у Кубика-Рубика. 
Возможно, я еще упустил дополнительные мелкие вырождающие факторы, но они только уменьшают число комбинаций кубоида.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 07 Февраля 2017, 15:30:34
Итого получается 8!^4 / 2^6 = 41 миллион миллиардов, что в 1000 раз меньше чем у Кубика-Рубика. 
Возможно, я еще упустил дополнительные мелкие вырождающие факторы, но они только уменьшают число комбинаций кубоида.
Когад я считал, тоже получалось примерно в 1000 раз меньше. ЗАбавно, ведь элементов больше
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 16:45:53
Зато у кубоида элементы не могут менять ориентацию, хотя на вид те же самые.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Леннон от 07 Февраля 2017, 17:24:22
А как найти эту цифру - 1260??
Можно взять цикл, типа X*1260, и конкретно разобрать, как он воздействует на элементы кубика.
Что-то смещается, и возвращается обратно, за определенную часть цикла, что-то также разворачивается, а в совокупности всё и даёт число в 1260.

Находил один интересный цикл, хотя он и покороче чем на 1260 - F R U L D * 252.
Особенность, в том, что разные части от этого цикла, выполняют с кубиком определенные операции, и их теоретически можно использовать для сборки кубика (реальная сборка тоже возможна, но занимает довольно долгое время - порядка 20 минут):
Полный - F R U L D * 252.
F R U L D * 7 - перестановка двух кубиков (реберные - RF, RD).
F R U L D * 14 - разворот двух кубиков (реберные - RF, RD).
F R U L D * 28/56 - перестановка трех кубиков (угловые - URB, ULB, DLB).
F R U L D * 84/168 - разворот трех кубиков (угловые - URB, ULB, DLB).

Просто F R U L D - оказывает очень сложное воздействие. Остаются на месте, но неправильно разворачиваются три ребра. На месте остаётся, но разврачивается один уголок. Смещаются по цепочке семь ребер. Ещё смещаются, с дополнительным разворотом пара ребер.
Четыре угла, смещаются по цепочке, и разворачиваются.
Ещё три - смещаются, и разворачиваются.
Смещение семи - собственно и даёт циклу семикратность.
Смещение четырех, и дополнительно смещение/разворот двух - вносят в цикл четырёхкратность.
Смещение и разворот трех - вносят также девятикратность.
Итого, 7*4*9 = 252.

Ещё один цикл подобного типа - F R U L D L' U' * 180.
Тут вместо 7-кратности пятикратность. 5*4*9 = 180. Вместо цепочки из 7 элементов, есть цепочка из 5.
И также имеют место разворот/перемещение трех уголков, разворот/перемещение двух ребер.
(Части цикла тоже подходят для сборки всего кубика, примерно те же операции возможны, только число повторений - 5, 10, 20/40, 60/120. И реальная сборка тоже долгая - около 20 минут).

На основе этих двух циклов, можно сделать предположение, что в 1260-цикле, будут совмещены четырехкратность, пяти, семи, и девяти.
Вероятнее всего, должны присутствовать две цепочки перемещений (уголковая пяти- и реберная семи- элементные). Помимо этого - перестановка и разворот трех уголков. И перестановка и разворот двух ребер. Итого - 5*7*4*9.

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

Да, в случае с R U2 D' B D' * 1260 всё оказалось так.

Присутствуют две цепочки перемещений - 5 уголков и 7 ребер. Это 5*7.
Также присутствует разворот и перемещение тройки уголков - это девятка.
И перестановка пары ребер, в сочетании с разворотом - это ещё 4.
Итого - 1260.

Насчёт того, что написано в вики. Группы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 90, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 132, 140, 144, 154, 165, 168, 180, 198, 210, 231, 240, 252, 280, 315, 330, 336, 360, 420, 462, 495, 504, 630, 720, 840, 990, 1260.
1 - последовательность действий без итогового результата.  Возвращение кубика в исходное положение.
2, 3, 4... - двуциклы, трициклы, тетрациклы...
Допустим, при  действии, возникает цепочка в 11 кубиков (реберные), и 7 (угловые). Дополнительно возможны развороты ребер и уголков - 2 * 3. Итого получается кратность - 11*7*2*3 = 462.
Большая кратность, допустим 1386 - невозможна, ибо развороты есть, цепочки 7 и 11 есть, а взять ещё одну цепочку из 3 кубиков уже неоткуда.
990 - тут присутствует цепочка из 11 кубиков (рёбра), также есть цепочка из 5 кубиков (уголки), Цепочка из 3 кубиков (угловые), и развороты (реберных + угловые) - 2 * 3.
Итого - 5*11*3*2*3 = 990.
То же самое но без цепочки из 3х элементов - 330-кратный цикл.
Если присутствуют две цепочки одинаковой длины - 5 и 5, 7 и 7, 8 и 8, то цикл будет соответственно кратен только 5, 7, 8, но не 25, 49, 64.
Нет циклов, например 13-кратного, 17, 19... потому что в кубике просто не может образоваться цепочек подобной длины, из-за ограниченного количества кубиков одного типа. (а вот в мегаминксе кубиков побольше, и 13, 17, или 19-кратный цикл очень даже возможен!).

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

Сделал небольшую проверку: 13, 17-циклы и им подобные, действительно возможны в мегаминксе.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 19:48:24
Цитировать
Присутствуют две цепочки перемещений - 5 уголков и 7 ребер. Это 5*7.
Также присутствует разворот и перемещение тройки уголков - это девятка.
И перестановка пары ребер, в сочетании с разворотом - это ещё 4.
Итого - 1260.

Не очень мне это понятно... 1260=3х3х5х2х2х7

Почему тройки и двойки удваиваются? Вроде есть 5цикл углов и 7цикл ребер. И есть 3 состояния углов и 2 состояния ребер.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Леннон от 07 Февраля 2017, 19:55:20
2*2
При использовании X*1 - пара кубиков поменялась местами (рёбра).
При использовании Х*2 - они меняются местами обратно, но не так развернуты.
Полное возвращение в исходную позицию происходит лишь при кратности 4.
3*3
При использовании Х*3 - кубики в итоге возвращаются на место, но имеют не тот разворот (уголки).
Исходное положение они занимают лишь при кратности 9.

Т.е. имеем соответственно 4 состояния для ребер, и 9 для уголков.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 21:47:47
Цитировать
Группы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 90, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 132, 140, 144, 154, 165, 168, 180, 198, 210, 231, 240, 252, 280, 315, 330, 336, 360, 420, 462, 495, 504, 630, 720, 840, 990, 1260.

Из коротких групп можно строить интересные "поликоммутаторы". Как нить подробно напишу.

Например,
U4 = 1
(R F' R' F)6 = 1

Тогда ((R F' R' F)2 U)3 U - известный алгоритм ориентации трех углов для "начинающих" (на самом деле, для крутых пацанов с крутыми головоломками)

Можно записать с помощью индексов порядка операций: [1212122, (R F' R' F)2, U]
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 17 Февраля 2017, 07:27:12
Задача!

Существует ли на обычном Мегаминксе паритет, когда обидно до слез и хочется разобрать этот пазл?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 17 Февраля 2017, 07:28:33
Задача!

Существует ли на обычном Мегаминксе паритет, когда обидно до слез и хочется разобрать этот пазл?
Говорят, бывают 6цветные мегаминксы. Но у меня 12цветный, на нем ничего страшного не бывает
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 17 Февраля 2017, 08:39:42
Да, на 6-ти цветном можно столкнуться с паритетом. А как устроить его на 12-ти цветном (без механической разборки)?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 17 Февраля 2017, 13:11:18
Да, на 6-ти цветном можно столкнуться с паритетом. А как устроить его на 12-ти цветном (без механической разборки)?
Я 12цветный не меньше сотни раз собирал. Может еще void-мегаминкс чего-то и может такого родить, а в этом ничего не замечено. Коммутаторы на простейшие действия работают прекрасно. все что они не могут - это нечетные подстановки
Может для какого-то другого алгоритма сборки и есть какие-то паритеты, но не для того, который придумался у меня, когда я его купил
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 17 Февраля 2017, 13:20:47
В кубике-рубике могут возникать паритеты некоторых этапов некоторых методик, например, когда собираем одни ребра - закономерно говорить о паритете. Но в основе всех паритетов кубика лежит 4-ый порядок поворота грани. А у Мегаминкса пятый порядок вращения граней - поэтому паритетов не может быть ни в каких смыслах.

тем не менее, паритет можно организовать, наблюдать - и очень сокрушаться по этому поводу. В этом то и вся задача)))
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 17 Февраля 2017, 18:49:20
Цитировать
в этом ничего не замечено. Коммутаторы на простейшие действия работают прекрасно. все что они не могут - это нечетные подстановки

Коммутаторы не могут решать паритетов, но они и НЕ МОГУТ СОЗДАВАТЬ паритетов. Паритеты в больших кубах создает поворот среднего слоя на 90 град, паритет в кубиках 2x2 и 3x3 создает поворот грани на 90 град, в Багуа-кубе - на 45. Эти же ходы служат и для фактического устранения паритетов, а потом можно натравить и коммутаторы.

Поэтому чтобы получить паритет в мегаминксе, нужно сначала ввести в него нечетность. Можно, его, скажем разобрать и переставить пару кубиков - но это выходит за рамки условия задачи. Так каждый дурак смог бы))
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 17 Февраля 2017, 23:37:55
Уважаемый ramon13.
На предыдущих форумах, в т.ч. которые бесследно исчезли, мы уже заводили разговоры про паритеты. Остановились на том, что паритетом называть лишь ВИЗУАЛЬНО ВИДИМЫЙ обмен 2-х элементов головоломки, например, перестановка двух рёберных элементов одного ребра кубов 4х4х4 или 5х5х5, или 2-х рёбер или углов Войд-куба, Багуа-куба и проч. Поэтому речи про паритеты кубов 2х2х2 и 3х3х3, Мегаминкса здесь даже и не должно быть, т.к. всё можно собрать обычной разновидностью формулы 3-цикла.
И в то же время паритет, например, на кубе 4х4х4 с логотипной раскраской уже не будет являться ПАРИТЕТОМ, т.к. визуального эффекта паритета на нём не будет, а будет лишь вид перестановки 2+2 разноимённых элементов.

P. S. Думаю всем нужно прекратить рассуждения про паритеты, особенно там где их нет, и особенно в теме, абсолютно далёкой от паритетов.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 18 Февраля 2017, 08:32:42
Уважаемый Пытливый!

Паритетом в бытовом смысле называется ситуация, "невозможная" в кубе 3х3.

В строгом смысле паритетом называется любая ситуация с нарушением четности, причем в кубе 3x3 есть четыре независимых способов расчета и соблюдения четности. Видимость или невидимость элементов НИКАКОЙ роли не играет. Перестановка 2+2 разных элементов является ПАРИТЕТОМ, так как можно рассматривать одну составную пару. НИКАКОГО войд паритета в Багуа-кубе нет, хватит фантазировать. Там есть 2+2 перестановка разных по природе элементов, причем все они видимы и не думают маскироваться. Войд - это когда 4 ценра + 2 ребра.

Паритет в кубе 2x2 вы трициклами не решите, и коммутаторами тоже, хоть убейтесь ап стену. Нужен еще поворот на 90 град. Короче говоря, Zatamon хороший математик и все это прекрасно понимает. Если он догадается, как внести нечетность в мегаминкс, задачка будет решена и паритет можно будет пронаблюдать.

Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 18 Февраля 2017, 08:56:03
Цитировать
визуального эффекта паритета на нём не будет, а будет лишь вид перестановки 2+2 разноимённых элементов.

А почему же на Мегаминксе нельзя сделать 2+2 перестановку ребер и углов, если она четная?? ХА-ХА-ХА, потомучто это самый настоящий паритет не в спидкуберском, а в математическом смысле слова. А именно про математические паритеты мы сейчас и говорим.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 22 Февраля 2017, 16:17:08
Некоторые дополнительные пояснения к тому, что считается паритетом, а что нет.

В свое время Пытливый опубликовал несколько пособий, в которых исповедовал такую точку зрения: во всех без исключения головоломках возможны только четные перестановки. Если все же, как, например, в кубе 2x2 или в Void-кубе, происходят чистые нечетные перестановки в виде ничем не скомпенсированных  4-циклов (поворот грани либо среднего слоя, соответственно), тогда мы можем ввести дополнительные мнимые элементы, на которых происходит компенсация. Эти мнимые дополнительные элементы могут становиться реальными в других или в более старших моделях, наглядно раскрывая природу паритета. Так, при переходе к кубу 3x3 у куба 2х2 появляются ребра, а у Void-куба появляются центры, и так далее...
Долгое время я находился под гипнозом этой привлекательной на взгляд идеологии и не замечал всей ее порочности. Прозрение пришло в тот момент, когда я озадачился 2+2 перестановками разных по природе элементов, например, углов и ребер в кубе 3x3. Понятно, что придумать 3-цикл или иной коммутатор для этого случая невозможно!! Механизм выделения и подмены тут не работает, так как мы не можем поставить реберный элемент на место углового или наоборот. Однако, ситуацию исправляет один дополнительный поворот грани на 90 градусов, что делает общее число поворотов нечетным. Потом стало понятно, что паритеты в больших кубах имеют абсолютно такую же математическую природу, что и, например, Лямбда-перестановка в кубе 3x3. Только в больших кубах дополнительно к боковым ребрам переставляются еще полоски центров. Это может быть незаметно или заметно на кубах с картинками, но это существо дела не меняет.
Современное понимание паритетов основано на понятии ОРБИТЫ. Элементы головоломки могут перемещаться по так называемым орбитам, которых обычно несколько. Если элементы не взаимозаменяемы, то и орбиты у них разные. Поэтому о наступление паритетов следует говорить для каждой орбиты в отдельности. У куба 3x3 реберные и угловые элементы перемещаются по разным орбитам, но паритеты на обоих орбитах возникают синхронизированно, то есть одновременно. У куба 4x4 при повороте грани на 90 град. переставляются 4 угловых элемента, но 8 реберных. Зато при повороте среднего слоя переставляются 4 реберных элемента. Поэтому паритеты возможны как для углов, так и для ребрышек, однако они наступают независимо.
Итак, паритеты наступают для каждой орбиты в отдельности, возможно, синхронно. Если позиция в пределах одной орбиты разрешается с помощью коммутатора - то это не паритет, а чисто внешне похожий на него псевдопаритет. Перестановка двух составных ребер в кубе 4x4, так называемый PLL-паритет, на самом деле псевдопаритет. Математически нет никакой разницы между паритетом куба 2x2 или 4x4. Можно сделать один поворот грани (или слоя) на 90 градусов и потом решить это трициклами (что может быть не вполне удобно, но в принципе, возможно).

Теперь касательно удобства реальных формул для решения паритетов в больших кубах. Тут тоже следует внести определенную ясность. Первоначально Пытливый в своих руководствах приводил формулы из НЖ и других популярных изданий прошлого, вероятно, имелись и собственные наработки.  Это очень длинные и дремучие формулы, хотя и создавались они человеком. Можно только этому удивляться, ведь проблема эта не многим сложнее паритета в кубе 2x2. Шло время, росли скорости компьютеров, росла скорость интернета. В методиках Пытливого появились новые формулы (например, известная 15-ходовка), которые были сгенерированы на компьютере математиками. Эти формулы отлично подходят для спидкубинга, имеют малое число ходов в метриках, где нельзя вращать средний слой (а только сразу два слоя). Спидкуберы запоминают многие десятки формул и оттачивают их до автоматизма. Выучить для них еще пару формул - совсем не проблема. Но что делать поклонникам интуитивной сборки, которые никуда не торопятся? Неужели нужно ставить крест на своих устремлениях?

И тут находятся новые формулы, например, такая:

(d R2)4 d (L' f L F2 L' f' L F2)

Сначала делается 4-цикл, потом обыкновенный трицикл. Так все просто, как оказывается.  Жуткий паритет 4x4 оказался поверженным столь же легко, как Панда 2х2 с растопыренными лапами.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 22 Февраля 2017, 19:27:19
Очень обстоятельно, ramon13!
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 23 Февраля 2017, 12:12:12
Николай, ну а задачка?)) Как показать детям паритет на Мегаминксе где все повороты четные, то есть 5-циклы?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: ramon13 от 23 Февраля 2017, 19:54:49
Накладывая алгоритмы кубов 3x3 и 4x4 на куб 5x5, Пытливый доказывает, что паритет в кубе 5x5 обязательно "компенсируется" перестановкой средних центров. Вывод сам по себе верный, но исходные посылки ошибочны. На самом деле, 2+2 перестановка одинаковых по природе элементов - это четная перестановка, а 2+2 перестановка разных по природе элементов - это уже нечетная перестановка, хотя и 2+2.

Как этот факт можно легко доказать с помощью рассмотрения орбит?
При повороте среднего слоя куба 5x5 происходит затрагивание трех орбит.
1) 4 ребра перемещаются по орбите ребер. Нечетная перестановка.
2) 4 средних центра перемещаются по орбите средних центров. Нечетная перестановка.
3) 8 угловых центров перемещаются по орбите угловых центров. Четная перестановка.

Поэтому, если позиция имеет нечетное число поворотов средних слоев на 90 градусов, тогда мы имеем одновременный паритет ребер и средних центров, а вот изменения в угловых центрах можно отмазать, вернув их в собранное состояние.
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 24 Июля 2017, 22:08:00
Простенькая задача № 10.

Дан обычный куб 3х3х3. Его разбирают на элементы и крестовину, которую убирают в шкаф. Элементы же ссыпают в коробку.
Какое минимальное количество элементов и каких нужно вынуть из коробки и отдать другому человеку, чтобы он смог полностью определить точную раскраску куба и взаимное расположение цветов граней?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 25 Июля 2017, 02:32:53
10.
Три?
Два противоположных угловых и еще какой-нибудь, связующий
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 25 Июля 2017, 09:07:26
Согласен с  Zatamonом, ответ 3. Можно любых три угловых кубика.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Zatamon от 25 Июля 2017, 16:17:05
любых не получится
в условии просят установить все цвета
Если 3 угловых примыкают к одной стороне, то одного цвета мы не увидим
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Николай от 25 Июля 2017, 16:32:24
Тот который невиден - будет шестым, то есть раскраска данного куба восстанавливается однозначно!
Но если требуется назвать шесть цветов, то тогда два диагональных и еще один угловой любой!
Название: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: pytlivyj от 25 Июля 2017, 21:01:21
Верный ответ - 3 элемента. Можно также 2 диагональных угла и 1 рёберный, в раскраске которого присутствуют цвета от обоих углов.
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Isaev от 04 Мая 2018, 13:18:23
Да, в случае с R U2 D' B D' * 1260 всё оказалось так.

Присутствуют две цепочки перемещений - 5 уголков и 7 ребер. Это 5*7.
Также присутствует разворот и перемещение тройки уголков - это девятка.
И перестановка пары ребер, в сочетании с разворотом - это ещё 4.
Итого - 1260.

Насчёт того, что написано в вики. Группы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 90, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 132, 140, 144, 154, 165, 168, 180, 198, 210, 231, 240, 252, 280, 315, 330, 336, 360, 420, 462, 495, 504, 630, 720, 840, 990, 1260.
1 - последовательность действий без итогового результата.  Возвращение кубика в исходное положение.
2, 3, 4... - двуциклы, трициклы, тетрациклы...
Допустим, при  действии, возникает цепочка в 11 кубиков (реберные), и 7 (угловые). Дополнительно возможны развороты ребер и уголков - 2 * 3. Итого получается кратность - 11*7*2*3 = 462.
Большая кратность, допустим 1386 - невозможна, ибо развороты есть, цепочки 7 и 11 есть, а взять ещё одну цепочку из 3 кубиков уже неоткуда.
990 - тут присутствует цепочка из 11 кубиков (рёбра), также есть цепочка из 5 кубиков (уголки), Цепочка из 3 кубиков (угловые), и развороты (реберных + угловые) - 2 * 3.
Итого - 5*11*3*2*3 = 990.
То же самое но без цепочки из 3х элементов - 330-кратный цикл.
Если присутствуют две цепочки одинаковой длины - 5 и 5, 7 и 7, 8 и 8, то цикл будет соответственно кратен только 5, 7, 8, но не 25, 49, 64.
Нет циклов, например 13-кратного, 17, 19... потому что в кубике просто не может образоваться цепочек подобной длины, из-за ограниченного количества кубиков одного типа. (а вот в мегаминксе кубиков побольше, и 13, 17, или 19-кратный цикл очень даже возможен!).
А как посчитать какое минимальное число ходов должна иметь формула N-ного порядка?

Сделал небольшую проверку: 13, 17-циклы и им подобные, действительно возможны в мегаминксе.
Примерчик вспомнишь?
Название: Re: Задачи с кубиком Рубика
Отправлено: Леннон от 04 Мая 2018, 18:48:10
Первое не ясно.
Разве что совсем простые примеры.

Простейший тетрацикл - 1 поворот, R
Простейщий двуцикл - 1 поворот, R2

Простейший трицикл - ??? (предположение, 4 хода - коммутатор).

В условиях мегаминкса кстати будет уже по другому.


Насчёт 13, 17 - циклов в мегаминксе.

Например, действие из 3 поворотов - (L F R) - 13-кратный цикл. Так как там в процессе участвуют 13 ребер, и все 13 входят в одну цепочку.
Также в процессе участвует 11 уголков, однако только девять в цепочке. Поэтому действие (L F R) является дополнительно 9-циклом.
Ещё там присутствуют развороты уголков, умножающие общую цикличность ещё втрое.
По крайней мере, (L F R) является 351-циклом. 3*9*13