TwistyPuzzles.RU

Общая категория => Общие вопросы => Тема начата: Николай от 12 Января 2017, 22:16:57

Название: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 12 Января 2017, 22:16:57
Задача №1. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 принято называть египетским.
Сложите из пяти равных египетских треугольников четырехугольник, имеющий ось симметрии.

С этой задачей-головоломкой я познакомился в декабре 2016 года на ежегодной встрече в клубе "ДИОГЕН".
 Автора не помню. Кто-то привез её с IPP. Мне понравилась от души!
Название: Занимательная математика.
Отправлено: pytlivyj от 12 Января 2017, 23:30:52
Давно надо было начать такую тему, отвлечённую от головоломок. Тем более в мире головоломок бывает иногда "творческий застой", связанный не с тем, что мы их не умеем решать, а просто в это время изобретается что-то новое и вот-вот выйдет в свет. И можно переключаться в эту тему, потренировать мозги. Перекину и я из темы про кубик задачку про выпитые чашки.

Но в условии задачи ни про одинаковый объем жидкости в чашках, ни про пропорции кофе и молока, ни про величину чашек...

В условии математических задач всегда принято, что объём выпитых чашек одинаков. Все побочные пояснения к этому принимают как аксиому и как текст опускают. Вот, например, в задаче про слонов никому в голову не пришло, что слоны все разной величины, что у них разные по объёму желудки, что из озера может попить ещё какое-то животное, причём не одно и каждый день по нескольку раз. Все просто сидели и бодренько решали. ;)

А эту задачу вообще можно решить методом от противного. Например, так:

1) Пусть одного из напитков очень много, а второго минимум. Пусть молока будет 1 л= 1000 мл, а кофе всего 6 мл. Тогда Катя выпила 250+1=251 мл, а кол-во людей 1006/251=4,008 чел.
2)Пусть теперь кофе 1000 мл, а молока 4 мл. Тогда Катя выпила 166,67+1=167,67 мл, а кол-во людей 1004/167,67=5,99.
3) Из пп. 1 и 2 мы видим, что людей больше 4, но меньше 6, т.е. 5, т.к. число д.б. целым. Иными словами, между крайними соотношениями напитков, когда одного много, а второго чуть-чуть, существует соотношение, при котором кол-во чашек, и, соответственно, людей - целое число.
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 13 Января 2017, 00:29:38
Сложите из пяти египетских треугольников четырехугольник, имеющий ось симметрии.
На ум приходит только равнобочная трапеция, образованная этими треугольниками, которые лежат вне её. Например, такая:

(https://content.foto.my.mail.ru/mail/pytlivyj/69/h-139.jpg)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 13 Января 2017, 08:27:48
Если честно, то вряд ли возможно
А если с дырками, то из 4х можно сложить квадрат 7х7 с огромной дыркой (5х5), а 5й бросить вовнутрь его - там места много
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 13 Января 2017, 12:24:26
Нарисовать в клеточной тетради такой шестиугольник, чтобы при его разрезе по прямой линии он разделялся бы на четыре одинаковые фигуры.
Название: Занимательная математика.
Отправлено: pytlivyj от 14 Января 2017, 16:24:10
Николай, правильный ли ответ про египетские треугольники?
А я вам свой ответ про наклейки в теме "Задачи с кубиком Рубика" написал.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: JASON от 15 Января 2017, 00:37:55
Если честно, то вряд ли возможно
А если с дырками, то из 4х можно сложить квадрат 7х7 с огромной дыркой (5х5), а 5й бросить вовнутрь его - там места много

(https://dl.dropbox.com/s/wlzyvre681b7rek/IMG_5849.JPG?dl=0)

5.244  :)

(https://dl.dropbox.com/s/2yfyv02ui22q6ku/IMG_5847.JPG?dl=0)
(https://dl.dropbox.com/s/r6o01aypx9jqewd/IMG_5848.JPG?dl=0)
Название: Занимательная математика.
Отправлено: pytlivyj от 15 Января 2017, 01:11:16
Данная фигура не может существовать, т. к. либо верхняя сторона д. б. длиной 5,2 ед., либо левая боковая сторона трапеции д. б. длиной 5,06 ед., что противоречит условию задачи.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 15 Января 2017, 18:37:00
Цитировать
А я вам свой ответ про наклейки в теме "Задачи с кубиком Рубика" написал.

решения и ответа, увы, не понял. повторите плиз для тех кто в танке:
1) можно ли переставить центры так, чтобы узор "точки-окошки" не собирался, одна какая-либо грань была бы все время одноцветной?
2) как это сделать?
 
Название: Занимательная математика.
Отправлено: pytlivyj от 15 Января 2017, 19:19:10
Я написал про другую задачу, твою пока не решал, но порешаю.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 15 Января 2017, 19:55:29
Пытливый, так это, оказывается, совсем другая задачка... А про кубик и коробочку так никто и не решил
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 15 Января 2017, 21:08:22
Друзья, извиняюсь, пару дней не заглядывал на форум, а здесь столько предложений!!!
Скажу, что пока никто не справился с пятью Египетскими треугольниками.
Что мне делать, предлагайте:
1) сообщить решение;
2) дать время еще подумать;
3) сделать подсказку.
Я на все три варианта готов!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 15 Января 2017, 21:31:20
Николай, предлагаю ничего не делать, пусть хоть месяц висит, хоть два. Надеюсь, без подвохов и в двух измерениях. Будем решать
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 15 Января 2017, 21:42:12
Хорошо, ramon13, прислушаюсь к Вашему мнению!
Решение без подвохов, всё честно!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 16 Января 2017, 10:18:01
Николай, без подвохов никак не получается, хоть тресни(

Решение с подвохом:
1) у одного треугольника 3х4 отрезаем треугольный носик 1.5х2
2) из двух получившихся фигур складываем прямоугольник 3х2
3) достраиваем остальными фигурами до прямоугольника 3х10

Ответ: разрезание одного треугольника и построение прямоугольника 3х10
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 16 Января 2017, 11:39:38
Я бы предложил поискать подвохи в сторону выхода из плоскости, а не в сторону разрезания
Правда что тут может означать "четырехугольник" не очень ясно
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 16 Января 2017, 12:33:09
можно выйти из плоскости тем, что один треугольник спрятать в карман или подложить под другие фигуры)

Мое решение с разрезанием ничего себе, вполне так!!
Название: Занимательная математика.
Отправлено: pytlivyj от 16 Января 2017, 13:18:57
А я думаю, что 4-хугольник либо имеет один угол больше 180 градусов (похож на ласточкин хвост), либо сделан со сдвигом треугольников, либо треугольники при этом лежат как внутри, так и вне 4-хугольника - одно из решений я уже привёл.

Есть ещё одна версия. Т. к. в геометрии принято рисовать фигуры с помощью только циркуля и линейки без делений, то и треугольники эти не пентаминные, а нарисованные. Следовательно, они могут лежат и в пересечении друг друга и у них используется только часть какой-то стороны, но которую нарисовать необходимо именно под тем углом, который имеется в египетском треугольнике (треугольник здесь будет служить как доп. построение).
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 16 Января 2017, 15:52:10
Друзья, разрезать нельзя!
Накладывать нельзя, задача плоская!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 16 Января 2017, 16:11:07
Николай, а дыры можно оставлять?)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 16 Января 2017, 16:37:54
Все-таки тоже вырезал из бамажки
Нашел две хрени, одна на самом деле 5угольник с одним углом близким к 180 (зато сумма сторон, примыкающих к этому углу равна симметричной строне) , да и несимметрична по другой стороне
Другая 4уголник, но еще более заметно, что несимметрична.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 16 Января 2017, 18:02:20
Николай, а дыры можно оставлять?)

Без дыр!!!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Леннон от 16 Января 2017, 19:09:32
Что ж Вы делаете с людьми :)
Тоже вырезал из бумаги треугольники. Буду мучиться тоже.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 16 Января 2017, 19:12:18
Леннон, это труба. совершенно нерешабельная задача(
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: JASON от 16 Января 2017, 20:20:33
Пусть стороны треугольника 3см и 4см, тогда площадь 5 треугольников [1/2х(3х4)]х5=30см2.
Если пустот в четырехугольнике нет, то ось симметрии делит четырехугольник пополам - 15 см2.
Так как треугольников 5, то следовательно один треугольник должен делиться осью симметрии пополам.
Один египетский треугольник не имеет оси симметрии. При заданных условиях задача не имеет решения? ;)

P.S. Нашел четыре варианта четырехугольника, все без дыр, но и все без оси симметрии. :)

Публиковать решение через месяц - это слишком долго, теряется интерес. Предлагаю правильный ответ публиковать через неделю.
Либо завести отдельную тему "Ответы". Кто не смог решить посмотрит через неделю, кому интересно самому - в эту тему заходить не будет.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 17 Января 2017, 01:59:43

Так как треугольников 5, то следовательно один треугольник должен делиться осью симметрии пополам.

Необязательно. Может быть более одного и необязательно ровно
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 17 Января 2017, 05:02:53

Сложите из пяти египетских треугольников четырехугольник, имеющий ось симметрии.

Все 5 треугольников должны быть равны или просто дб египетскими?
А то, если подвох в необязательности равенства(кторое в формулировке не требуется). то просто:
берем прямоугольник 3 на 4, режем диагональю, потом один из треугольников режем высотой, потпом еще 2 раза режем треугольники высотой
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 17 Января 2017, 09:37:40
скорее всего, все триугольники равные, так как сказано, что имеют длины 3 и 4 неких единиц, а не соотношение 3:4. А единицы длины у всех треугольников выходит что одинаковые
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 17 Января 2017, 11:03:21
Решение найдено!!! Это очень просто складываемая стрелка. Разглядеть в ней четырехугольник с осью симметрии мешают только ракурс и психологический барьер. Фоткать не буду, пусть другие еще помучаются - я три дня решал!!
Название: Занимательная математика.
Отправлено: pytlivyj от 17 Января 2017, 22:15:32
У меня тоже решение найдено.
Всё чётко как по условию задачи - плоская двухмерная фигура, без разрезаний, подвохов, без дыр и наложений - чётко из 5 штук египетских треугольников, имеющих соотношения сторон (3:4:5):

(https://content.foto.my.mail.ru/mail/pytlivyj/69/h-140.jpg)

Вся фишка в том, что треугольники подобны и их пропорции в условии не оговорены!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 17 Января 2017, 22:36:19
Пытливый, а совестно не будет жухать, когда решение узнаете, тем более что подсказка дана))
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 17 Января 2017, 23:34:09
Первый раз в своей жизни слово жухать прочитал. Специально в инет полез посмотреть, что оно значит.
Название: Re: Занимательная математика.
Отправлено: JASON от 18 Января 2017, 00:03:38
У меня тоже решение найдено.
Всё чётко как по условию задачи - плоская двухмерная фигура, без разрезаний, подвохов, без дыр и наложений - чётко из 5 штук египетских треугольников, имеющих соотношения сторон (3:4:5):

(https://content.foto.my.mail.ru/mail/pytlivyj/69/h-140.jpg)

Вся фишка в том, что треугольники подобны и их пропорции в условии не оговорены!

Действительно, в условии задачи не сказано, что все египетские треугольники одинаковы. Целых две оси симметрии. Посмотрим, что скажет Николай.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Леннон от 18 Января 2017, 08:28:01
Во! Получилось!
4-угольник. Две стороны равны между собой. Две другие тоже равны между собой. И можно разделить весь 4-угольник на две одинаковые половинки.
Треугольники использовались одинаковые. (Один из пяти хотел просто сжечь :) )
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 18 Января 2017, 08:39:19
Леннон, поздравляю, вторым будешь))
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 18 Января 2017, 22:14:49
Друзья, рад бурному отсуждению и поиску решения этой головоломки.
Чтобы не было двусмысленности, должен уточнить: в задаче речь идет о пяти равных египетских треугольниках!
Обращаюсь к Вам pytlivyj, радуюсь вашей изобретательности, но треугольники - равные!
Сейчас уточню первоначальный вариант задачи!
Я головоломку видел в Москве, сфотографировал. Условие было сформулировано на иностанном языке, поэтому для форума я, извините, формулировал условие сам, оказывается надо добавить слово "равные". Извиняюсь, кого запутал,но я надеюсь, не очень сильно!
Удачи!
Когда выставлять решение? Я так чувствую, оно уже есть у решающих, например у ramon13 и Леннон !
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: iaroslavski от 19 Января 2017, 00:25:25
Я считаю, решение выставлять на общее обозрение на форуме не стоит.
Пусть его пересылают в личном сообщении.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 19 Января 2017, 06:53:01
Тогда жду Ваших решений в личных сообщениях.
На форуме буду сообщать, кто присылал и правильно или не правильно!
Да, кстати, Владимир, ты же тоже видел эту головоломку, и, кажется, сфотографировал!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 19 Января 2017, 07:25:08
Да, пусть каждый из решающих сам решит!!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 19 Января 2017, 07:42:15
Первым правильным ответ описал и прислал   ramon13.
Буквально через 10 мин получил ответ с фотографией от Леннон.
Поздравляю, оба решения правильные!!!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 19 Января 2017, 07:47:20
Вот  головоломка из первоисточника.
Может кто-то переведет, что здесь написано?

(http://s018.radikal.ru/i520/1701/15/8b9f20c2b93d.jpg) (http://radikal.ru)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: iaroslavski от 19 Января 2017, 10:25:19
Задача на симметрию с треуголниками 3-4-5
Donald Bell - donald@marchland.org

Треугольник 3-4-5 является прямоугольным, так как 3^2 + 4^2 = 5^2
(теорема Пифагора).

Способны ли вы из ПЯТИ таких треугольников сложить симметричную
фигуру (то есть, левая половина зеркально симметрична правой)?

Все треугольники должны лежать в одной плоскости, их можно поворачивать
и переворачивать, но нельзя накладывать один на другой, и внутри не должно
быть пустот.

Решение внутри.

Не заглядывайте в ответ, прежде чем сильно постараетесь найти его самостоятельно.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 19 Января 2017, 14:16:10
Спасибо за перевод  iaroslavski!!!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 19 Января 2017, 14:51:38
Цитировать
Не подсматривайте решение, пока не замучаетесь окончательно.

Перевод нормальный, кроме последней фразы. Я б сказал, не заглядывайте в ответ, прежде чем сильно постараетесь найти его самостоятельно.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: iaroslavski от 19 Января 2017, 14:58:24
Цитировать
Не подсматривайте решение, пока не замучаетесь окончательно.

Перевод нормальный, кроме последней фразы. Я б сказал, не заглядывайте в ответ, прежде чем сильно постараетесь найти его самостоятельно.
Подправил, спасибо!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 19 Января 2017, 19:32:34
Предлагаю новую задачу.

В стародавние времена, когда часы были в диковинку, один мужчина, проснувшись, обнаружил, что его большие настенные часы остановились. Чтобы узнать, сколько сейчас времени, он отправился к своему другу пешком. У друга были такие же настенные часы. Путь был неблизкий - может час, а может и больше. Сколько времени занимает путь к другу, наш герой не знал, или догадывался лишь очень приближенно. Навестив друга, он узнал текущее время, и по возвращении домой довольно точно его выставил (по меркам своей эпохи). Как он это сделал?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: djpibody от 19 Января 2017, 20:58:50
если он в перед шел бистро а назад медленно, то он не мог с точностью установить  свои часы. ну а если приблизительно похоже тогда есть решение.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 19 Января 2017, 21:03:08
djpibody, быстро вы решили... Пусть еще пара человек, тогда озвучим официально ответ)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: iaroslavski от 19 Января 2017, 21:15:03
Нашел решение.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 19 Января 2017, 21:17:53
чет вы быстро все... В реале как-то оно гораздо дольше было.) Ну пишите мне ЛС
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: JASON от 19 Января 2017, 22:32:14
(https://dl.dropbox.com/s/0tczlvo1xj5h2ir/IMG_5850.JPG?dl=0)

Николай, если есть сфотографированный ответ из первоисточника, пожалуйста опубликуйте.
Название: Занимательная математика.
Отправлено: pytlivyj от 20 Января 2017, 00:04:35
А я это решение тоже находил, но публиковать не стал, решил поискать ещё варианты:
А я думаю, что 4-хугольник либо имеет один угол больше 180 градусов (похож на ласточкин хвост), ...

Ведь исходя из первоначального изложения условия задачи, решений получается аж 3 варианта!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 20 Января 2017, 09:15:16
Быстро (мгновенно) местная публика расправилась с задачей по часы! Эту сложную задачу решили правильно iaroslavski и (по-видимому) djpibody. Посему задача закрывается. Ответа мы не приводим, чтобы не светить его в интернетах для школоты. Жаль что треугольники тоже засветили - решения в инете не было!! Но теперь оно есть( Зачем нужно было это делать??

Новая задачка!!!
Группе туристов, состоящей из студента, студентки, доцента и профессора, повстречался на пути ветхий мост. Дело было ночью, но у туристов был один фонарик на всех. За какое минимальное время они смогут переправиться через мост, если известно, что:
1) мост выдерживает не более двух человек;
2) по мосту можно передвигаться только с фонариком;
3) студент преодолевает мост за 1 мин
4) студентка преодолевает мост за 2 мин
5) доцент преодолевает мост за 5 мин
6) профессор преодолевает мост за 10 мин
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 20 Января 2017, 10:42:12
Быстро (мгновенно) местная публика расправилась с задачей по часы!
Да там все просто

Новая задачка!!!
Группе туристов, состоящей из студента, студентки, доцента и профессора, повстречался на пути ветхий мост. Дело было ночью, но у туристов был один фонарик на всех. За какое минимальное время они смогут переправиться через мост, если известно, что:
1) мост выдерживает не более двух человек;
2) по мосту можно передвигаться только с фонариком;
3) студент преодолевает мост за 1 мин
4) студентка преодолевает мост за 2 мин
5) доцент преодолевает мост за 5 мин
6) профессор преодолевает мост за 10 мин
Не знаю, самоел лди это бстрое, но
1+2->   (2 min)
<-1  (1 min)
3+4-> (10 min)
<-2  (2 min)
1+2->   (2 min)

Сколько это? 17 мин?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 20 Января 2017, 10:59:53
Zatamon, решение правильное, но никто даже не помучился( А ведь задача очень сложная и решение не тривиальное!!

Ну тогда такая задача...
Даны проволочные жесткие каркасы тетраэдра и куба.
1) Какой формы должен быть разрез на листе картона, чтобы через него прошел тетраэдр?
2) Какой формы должен быть разрез на листе картона, чтобы через него прошел куб?

понятное дело, что разрез не должен содержать замкнутых областей, иначе все вывалится)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 20 Января 2017, 12:11:34
1) Какой формы должен быть разрез на листе картона, чтобы через него прошел тетраэдр?

понятное дело, что разрез не должен содержать замкнутых областей, иначе все вывалится)
И понятное, дело, в идеале нулевой площади и покороче?
Ну вот допустим сначала режем 2 стороны треуг треугольника. Ставим сверху на него тетраэдр, 2 стороны проваливаются, а скрещивающаяся с непроваливающейся стороной сторона делает небольшой разрез там, у дальней вершины, вовнутрь
В результате провалим весь тетраэдр кроме одной стороны. Последнюю строну вроде как вытаскиваем через существующий разрез
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 20 Января 2017, 12:27:45
ваше решение типа такого
 /|\

Нет, так тетраэдр будет болтаться на последнем своем ребре и пройти не сможет.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 21 Января 2017, 22:21:23
Спасибо, JASON! Мне теперь не надо выкладывать решение задачи про пять египетских квадратов.
Ваше такое, которое я нашел.

Николай, если есть сфотографированный ответ из первоисточника, пожалуйста опубликуйте.

В авторской упаковке не было приведено решение, поэтому не могу его добавить!
Подводя итоги, скажу, что на этом форуме задачу решили:
1. ramon13
2. Леннон
3. JASON

Надеюсь, что все кто решал эту задачу, получили порцию удовольствия!
Те же, кто решил задачу - почувствовали себя чуть-чуть победителями!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 21 Января 2017, 22:58:06
1) Какой формы должен быть разрез на листе картона, чтобы через него прошел тетраэдр?

разрез по двум отрезкам под углом 60 градусов,  длина каждого равно ребру тетраэдра.

2) Какой формы должен быть разрез на листе картона, чтобы через него прошел куб?

разрез по трем отрезкам с общим концом, углом между которыми 120 градусов,  длина каждого равно ребру куба.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 22 Января 2017, 09:44:07
Николай, ваши "решения", к сожалению, даже не содержат намеков на правильность.(

1) Если сделать всего два надреза, то тетраэдр даже не сможет начать движение скозь плоскость. Zatamon предложил еще третий маленький разрез из общей вершины, так тетраэтр пройдет весь, кроме последнего ребра. Даже если приподнимать последнее ребро, пытаться его подкручивать под разрез - ничего не выйдет.

2) сквозь три разреза под 120 градусов пройдет только одна вершина куба, далее куб остановится
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 22 Января 2017, 11:29:00
Николай, ваши "решения", к сожалению, даже не содержат намеков на правильность.(

Извиняюсь! Я плохо читал условие задач!
Я делал разрезы на листе бумаги, на нужно в листе картона!
Подумаем!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 22 Января 2017, 13:57:17
Уважаемый ramon13!
Проанализировал свои решения, которые, как Вы  написали, не содержат намеков на правильность.
Согласен, но!
1). Первое решение  не далеко от истины. На самом деле V-образный разрез по двум сторонам правильного треугольника, высота которого равна  ребру тетраэдра является решением, может не самое минимальное.
2). для каркаса куба подходит П образный разрез из трех отрезков: диагональ грани куба - ребро куба - диагональ грани куба.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 22 Января 2017, 14:00:58
Цитировать
Я делал разрезы на листе бумаги

На бумаге и одного разреза достаточно, чтобы апельсин прошел))
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 22 Января 2017, 14:06:46
Цитировать
Проанализировал свои решения

V и П разрезы не являются решениями задач 1 и 2. Не учитывается, что в каждой вершине сходится три ребра со своей геометрией и своими трехгранными углами. Вот проволочный треульник и проволочный квадрат прошли бы через такие разрезы, но не проволочные каркасы.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 22 Января 2017, 14:25:52
Если разрешается вращать каркас во время  прохождения через прорези в листе картона, то оба каркаса проходят через указанные мною разрезы!
Или я чегото не понимаю!
Я не поленился,  сделал модели, сделал разрезы в листе картона и продеваю. Каркасы проходят!
Естественно, я считаю, что каркасы сделаны из проволоки, которая не имеет толщины, как принято в математике, что прямая и плоскость не имеют толщины.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 22 Января 2017, 19:37:48
Николай!
Обычно на эту задачу никаких ограничений на вращение не накладывают, я об этом не слышал. Но везде фигурируют другие ответы, отличные от V- и П-разрезов. В принципе, вращение разрешено. Думаю, с П-разрезом для куба с вами можно согласиться, c V-разрезом для тетраэдра пока не буду соглашаться, так как мне это не очевидно. Ну и решают эти задачи, то вращая, то не вращая, чисто из удобства.

Поскольку обнаружились такие непонятки, ужесточим задачу!! Теперь надо продеть тетраэдр и куб не вращаяя!!!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 22 Января 2017, 20:19:39
Давайте уточнять, далее!
Разрешается, поступательное движение в одном направлении, или более сложное - сначала в одном направлении, потом в другом, и т.д.
Уточню: параллельный перенос на один вектор, или на несколько векторов поочередно?
             
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 23 Января 2017, 07:26:14
Направление можно менять, но небольшое число раз.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 23 Января 2017, 07:37:57
ваше решение типа такого
 /|\

Нет, так тетраэдр будет болтаться на последнем своем ребре и пройти не сможет.
На самом деле тут мы встали в недоопределдность задачи
При кое-каких допусловиях пролезет и последнее ребро, если учесть, что толщина всего =0
Точнее говоря, чем меньше толщина всего, тем меньшее отгибание бумаги произойдет при этом
Просто двигаем тетраэдр, висящий на последнем ребре, двигаем это ребро в сторону  точки, где разрезы смыкаются, а вершины ребра пропускаем под бумагой

PS А про куб действительно, чем П-разрез не нравится? только понятно, не квадратный

PPS Но и с тетраэдром без этого трюка-отговорки можно
Вот висит тетраэдр на последнем ребре. Берем, двигаем одну из его точек в сторону вершины соединения. При этом другойя вершине надо какое-то время удаляться. Ну прорежет она допразрез в любом, какой эстетичнее, направлении, а потом вернется обратно этим же разрезом
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 23 Января 2017, 08:58:47
Цитировать
На самом деле тут мы встали в недоопределдность задачи

Согласен, и последнее ребро пройдет, если представить, что концы его начинают двигаться уже под плоскостью, или, что тоже самое, мы приоткрыли люк на бесонечно-малую. В общем, вопросы не ко мне, а к авторам олимпиадных и занимательных задач. Эта задача приходила ко мне несколько раз на протяжении жизни, и ответы были всегда другие.

Ну теперь решайте без изменения ориентации каркасов в пространстве!!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 27 Января 2017, 22:34:52
Ну теперь решайте без изменения ориентации каркасов в пространстве!!

Я выдохся!!!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 28 Января 2017, 08:45:49
Цитировать
Я выдохся!!!

Бросьте! Решения простые, к тому же у Вас есть проволочные модели! В крайнем случае могу дать ответы в ЛС, можно будет подкалывать любознательных ребят в вашей школе)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 28 Января 2017, 08:48:17
Цитировать
Я выдохся!!!

Надеюсь, вы понимаете, что врашение на величину порядка толщины проволки вращением не является, так как в пределе дает ноль? Вот Zatamon это понимает.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 28 Января 2017, 10:11:08
Предлагаю поразмышлять и ответить на вопрос этой задачи:
Задача №6. Можно ли в правильный треугольник со стороной 13 поместить без наложений три равных квадрата со стороной 4.

(http://s011.radikal.ru/i316/1701/c1/9d66acda95c5.png) (http://radikal.ru)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 28 Января 2017, 11:06:49
Уложить можно, если не просто ставить их друг на дружку, но еще и вращать. Решение красивое, входят в притык. Решение получено без расчетов, просто с визуальными моделями. Картинку не приводим, чтобы не палить раньше времени.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 28 Января 2017, 11:14:21
Нравятся мне задачки про лжецов и рыцарей...

ВНИМАНИЕ!!! Если вы знаете решение этой задачи, или у вас богатый опыт решения подобных задач, или если решение найдено в интернете - решение не палим, перепосты не делаем - это бессмысленно!! Тут только приводим оригинальные решения и озарения!

Есть трое - лжец, плут и рыцарь.
Лжец - всегда лжет и отвечает противоположным образом;
Плут - отвечает неопределенно, в зависимости от желания или случая.
Рыцарь - всегда говорит правду.

Как задав всего лишь три вопроса (с ответами ДА или НЕТ), определить кто есть из них кто?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 28 Января 2017, 11:37:25
Присылайте в Личку Ваше решение, и решение задачи на продевание каркасов.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 29 Января 2017, 09:33:22
Николай, я нашел второе решение задачи. Через простой П-разрез с равными сторонами под ребро каркас куба тоже пройдет без вращения!! Вращения на толщину проволки - не в счет, конечно.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 30 Января 2017, 09:52:51
Друзья!
Предлагаю сквозную нумерацию наших задач.
Я свои пронумеровал. Внесите дополнительные изменения и пронумеруйте свои  задачи.
Думаю так будет удобней в будущем.

№1. Египетские треугольники; Николай
№2. Кофе с молоком; pytlivyj
№3. Время путника;  ramon13
№4. Переправа через мост;  ramon13
№5. Каркасы куба и тетраэдра;  ramon13
№6. Три квадрата; Николай
№7. Лжецы и рыцари;  ramon13

Выставляя новую задачу, начинайте с её очередного номера! Спасибо!

Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 30 Января 2017, 17:40:04
Задача №8. В квадрате асимметрично произвольно вырезано квадратное отверстие меньшего размера. Докажите, что эту фигуру можно разрезать на четыре части и сложить квадрат с квадратным отверстием в центре так, что стороны отверстия будут параллельны сторонам квадрата.

(http://s018.radikal.ru/i517/1701/5f/61cde68c86ec.png) (http://radikal.ru)
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 01 Февраля 2017, 21:14:55
Ответ на задачу № 6.
Обозначим треугольник как АВС, а каждый квадрат KLMN. Расположим каждый квадрат так, чтобы сторона KN совпадала с каждой стороной треугольника, а стороны MN образовали прямоугольные треугольники MNA, MNB, MNC, соответственно. Между треугольниками ещё и зазоры останутся.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 01 Февраля 2017, 21:47:49
Всё правильно, pytlivyj!
Переведу Ваше решение на язык чертежей, все станет наглядно!
На самом деле между треугольниками, если посмотреть в "мелкоскоп", существуют зазоры шириной 0,072

(http://s56.radikal.ru/i154/1702/9a/581105431c2b.png) (http://radikal.ru)
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 01 Февраля 2017, 22:11:16
Задача № 9.
На дно круглого колодца упали два шеста длиной 3м и 2м. Длинный шест при этом касался нижнего края справа и верхнего края слева, короткий шест касался нижнего края слева и лежал верхним концом на стенке колодца справа. Найти диаметр колодца, если точка пересечения шестов лежит на расстоянии 1м от дна.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: iaroslavski от 01 Февраля 2017, 22:22:09
Задача № 9.
На дно круглого колодца упали два шеста длиной 3м и 2м. Длинный шест при этом касался нижнего края справа и верхнего края слева, короткий шест касался нижнего края слева и лежал верхним концом на стенке колодца справа. Найти диаметр колодца, если точка пересечения шестов лежит на расстоянии 1м от дна.

Задача жрецов бога Ра.
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 01 Февраля 2017, 22:31:16
Честно говоря не знал, что эта задача есть в интернете. Я случайно увидел её года 2 назад в одном журнале и сам решил составлением уравнения 4-й степени. :) Там эта задача была переделана про метание аборигенами копий разной длины.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: iaroslavski от 01 Февраля 2017, 23:58:19
Эту задачу впервые я увидел в журнале "Наука и жизнь" за очень древний год (тогда-то и интернета не было :)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 04 Февраля 2017, 23:33:22
Задача №10. Если у куба 2х2х2 удалить один из кубиков 1х1х1, то получим фигуру минус-кубик. Ясно, что минус-кубик можно разрезать на семь равных частей – кубики 1х1х1. Оказывается, что  минус-кубик можно разрезать на восемь равных частей. Попробуйте!

(http://s015.radikal.ru/i333/1702/24/e03d3e692fb6.jpg) (http://radikal.ru)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Леннон от 05 Февраля 2017, 17:39:11
Восьмая будет в центре!
А по форме все восемь кусочков будут похожи на первоначальный. Но по размерам вдвое меньше. По объему конечно же в восемь раз.

(http://s020.radikal.ru/i723/1702/eb/cdc84857d0be.jpg) (http://radikal.ru)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 05 Февраля 2017, 20:04:33
Отлично, Леннон!!!
Всё правильно! Спасибо за иллюстрацию!!!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 05 Февраля 2017, 21:51:08
Задача №11.  Покажите, что поверхность правильного тетраэдра можно оклеить, без наложений и пропусков, двумя равными правильными шестиугольниками?
Размеры шестиугольников подберите сами.

(http://s019.radikal.ru/i608/1702/6b/751edc2c1225.jpg) (http://radikal.ru)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 06 Февраля 2017, 08:52:44
Ну давайте и я. Номер какой? 12?
На вопрос "существует ли многогранник, все грани которого - шестиугольники" есть поспешный ответ "нет, потому что формула Эйлера"
Однако эта формула применима только к многогранникам ,подобным сфере, то есть без дырок.
Ну и вот задача 12: существует ли многогранник (с дырками), все грани которого - шестиугольники
и до кучи 13: А повысить еще это как-то можно? Те существует ли многогранник, все грани которого не менее чем 6-угольники, а некоторые более чем 6 - угольники?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 06 Февраля 2017, 12:51:19
Задача N14. Семь домов.

Предупреждение: Обеспечивает вынос мозга каждому решающему на много часов или даже дней! Задача решается в плоскости и без подвохов, "холмов" и т.п.

В деревне есть 7 домов. Они расположены так, что для любой тройки домов найдется хотя бы одна пара домов, расстояние между которыми 50 метров. Нарисовать план деревни.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 06 Февраля 2017, 15:51:45
14  А что, вроде получается той картинкой, которой доказывается, что хроматическое число плоскости>=4
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 06 Февраля 2017, 16:20:52
Zatamon, правда ваша! Именно эта картинка. Решение для границы хроматического числа >=4 получено в 1961 году... Теперь школьникам предлагают за 15 мин повторить научный подвиг братьев-математиков Мозерами под таким вот веселым соусом. Может, из юзверей сайта кто-нибудь сможет найти его без подглядывания.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 06 Февраля 2017, 16:33:05
Zatamon, правда ваша! Именно эта картинка. Решение для границы хроматического числа >=4 получено в 1961 году... Теперь школьникам предлагают за 15 мин повторить научный подвиг братьев-математиков Мозерами под таким вот веселым соусом.
ЩАс почитал, что задача 50 года... что-то долго 11 лет .. Я в детсве, конечно не за 15 это минут решил (примерно 15 минут эту вашу задачу думал), но значительно быстрее, чем за 11 лет
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 06 Февраля 2017, 16:50:15
Что, такой граф не подходит?

(http://s45.radikal.ru/i110/1702/93/85e241080b87.png) (http://radikal.ru)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 06 Февраля 2017, 16:56:49
в нем есть точки, образующие правильный треугольник со стороной 50*sqrt(3)
Название: Занимательная математика.
Отправлено: pytlivyj от 06 Февраля 2017, 22:42:24
Ответ на задачу № 11. Оклеить 2-мя 6-тиугольниками тетраэдр с ребром равным А можно при условиях:

1) сторона каждого шестиугольника равна А/(√3);
2) один из шестиугольников клеим полностью на одну сторону тетраэдра, совместив углы через один с углами тетраэдра. Остальные части загибаем и приклеиваем на 3 оставшиеся стороны;
3) у второго шестиугольника отрезаем ромб, 3 угла которого совпадают с углами, а 4-й с центром шестиугольника;
4) приклеиваем образованный вогнутый шестиугольник, совместив свободную 4-ю вершину тетраэдра с центральной "выпуклой" вершиной шестиугольника;
5) заклеиваем оставшееся свободное место на тетраэдре ромбом из п. 3.

Ответ на задачу № 12. Многогранник из шестиугольников "с дырками":

(http://zoomagazin.dp.ua/_sh/3273/327325m.jpg)

Ответ на задачу № 13. Пример многогранника, все грани которого не менее чем 6-угольники, а некоторые более чем 6 - угольники:

(https://cdn3.img.ria.ru/images/147814/93/1478149323.jpg)
Название: Re: Занимательная математика.
Отправлено: Николай от 06 Февраля 2017, 23:04:55
Ответ на задачу № 11. Оклеить 2-мя 6-тиугольниками тетраэдр с ребром равным А можно при условиях:

3) у второго шестиугольника отрезаем ромб, 3 угла которого совпадают с углами, а 4-й с центром шестиугольника;


Резать шестиугольники нельзя!
Название: Занимательная математика.
Отправлено: pytlivyj от 06 Февраля 2017, 23:13:32
В условии изначально это не оговаривалось...
Название: Re: Занимательная математика.
Отправлено: Zatamon от 07 Февраля 2017, 02:34:45

Ответ на задачу № 12. Многогранник из шестиугольников "с дырками":

(http://zoomagazin.dp.ua/_sh/3273/327325m.jpg)

Там не только шестиугольник у вас на картинке, но и4угольники видны - в торцах
следующаяя картинка вообще непонятно, что вы этим хотели сказать
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 07:43:18
Цитировать
Там не только шестиугольник у вас на картинке, но и4угольники видны - в торцах

Какие могут быть 4-угольники в раскройке футбольного мяча?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 07 Февраля 2017, 08:05:28
Цитировать
Там не только шестиугольник у вас на картинке, но и4угольники видны - в торцах

Какие могут быть 4-угольники в раскройке футбольного мяча?
У него на картинке есть. В торце пластин. Пластины же конечной толщины и вот дырки обрамлены этими трапециями
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 08:39:59
Цитировать
следующаяя картинка вообще непонятно, что вы этим хотели сказать

А чем вам тут не нравятся шестиугольники/десятиугольники? Первые неправильные, вторые невыпуклые? Ну и фигли?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 07 Февраля 2017, 08:44:03
Цитировать
следующаяя картинка вообще непонятно, что вы этим хотели сказать

А чем вам тут не нравятся шестиугольники/десятиугольники? Первые неправильные, вторые невыпуклые? Ну и фигли?
Тем что на 2й картинке нет ни 6угольников ни 10угольников. Они на сфере нарисованы, а значит не плоские
Более того, для всего, топологически эквивалентного сфере есть формула эйлера, которая говорит, что нельзя
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 09:19:05
Ответ на задачу 12

это три архимедовых тела:
4 ш 4 т (gem 8)
8 ш 6 к (gem 3,4,7)
20 ш 12 п (футбольный мяч, как указал Пытливый)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 07 Февраля 2017, 09:40:45
Ответ на задачу 12

это три архимедовых тела:
4 ш 4 т (gem 8)
8 ш 6 к (gem 3,4,7)
20 ш 12 п (футбольный мяч, как указал Пытливый)
Почему 3? Чтотакое например "4 ш 4 т (gem 8)"?
Футбольный мяч, как я уже писал не может быть решением. потому что для него работает формула Эйлера: В-Р+Г=2 То есть, если многогранник состоит из Н шестиугольников, то Г=Н, Р=6Н/2=3Н В<=6Н/3=2Н
Отсюда В-Р+Г<=2Н-3Н+Н=0 , не может быть 2

PS Кстати, не стесняйтесь погуглить, эта задача почти моя (а задача 13 совсем моя) , она только единожды успешно в интеренете обсуждалась, маловероятно, что вы на нее нарветесь, скорее наткнетесь на доказательство того, что формула эйлера доказывает, что это невозможно
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 09:55:01
Zatamon, какой вы придира, просто кошмар!!! Очевидно ведь:

1) Усеченный тетраэдр. Четыре шестиугольника и 4 треугольника.
2) Усеченный октаэдр. Восемь шестиугольников и 6 квадратов.
3) Усеченный икосаэдр. 20 шестиугольников и 12 пятиугольников.

Если в этих архимедовых телах оставить только шестиугольные грани и дыры в виде остальных многоугольников, получим требуемые шестиугольные многогранники с дырами.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 07 Февраля 2017, 09:57:48
Zatamon, какой вы придира, просто кошмар!!! Очевидно ведь:

1) Усеченный тетраэдр. Четыре шестиугольника и 4 треугольника.
2) Усеченный октаэдр. Восемь шестиугольников и 6 квадратов.
3) Усеченный икосаэдр. 20 шестиугольников и 12 пятиугольников.

Если в этих архимедовых телах оставить только шестиугольные грани и дыры в виде остальных многоугольников, получим требуемые шестиугольные многогранники с дырами.
4 треугольника - я просил только из шестиугольников
Под дырами вы неправильно понимаете. убрать грань - это не дыра, а ликвидация многогранника. Тела должны ьбыть нормально замкнуты, иметь объем и , желательно, без самопересечений
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 10:05:32
Эти архимедовы тела не развалятся при ликвидации нешестиугольных граней. Вот вам и дыры.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 07 Февраля 2017, 10:10:51
Эти архимедовы тела не развалятся при ликвидации нешестиугольных граней. Вот вам и дыры.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA
Цитировать
Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве, такая, что:

каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
При оиквидации этих граней это условие не будет выполняться, так что это больше не будет многогранником. Единичый шестиугольник ведь тоже не развалится, разве он - многогранник?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 10:22:54
Возьмем бумажные модели тетраэдра, октаэдра, икосаэдра. Усечем их. Они не развалятся. Вот вам твердые тела с дырами и шестиугольниками.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 07 Февраля 2017, 10:25:26
Возьмем бумажные модели тетраэдра, октаэдра, икосаэдра. Усечем их. Они не развалятся. Вот вам твердые тела с дырами и шестиугольниками.
Многогранниками от усечения они быть перестанут. А я просил многогранник
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 07 Февраля 2017, 19:36:51
А вашему многограннику от его дыр плохо не становится?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 07 Февраля 2017, 23:52:10
А вашему многограннику от его дыр плохо не становится?
Вы сейчас о чем?
Ок, забудьте мое слово "дырявый" Я просто спрашиваю вас попстролить многогранник все грани которого - шестиугольники
Ну, или давайте по-другому скажем. Вот есть формула В-Р+Г=2  Я думаю, вы понимаете, что она не для всех многогранников валидна а толко для тех, чей граф "вершины-ребра" расположим на плоскости, в частности ограньте тор (только честно, чтобы тот граф был связен) и для такого многогранника В-Р+Г должно быть  равно 0. Самая простая огранка, что я вижу, это 9 4угольных граней, у которой в каждой вершине сходится 4 ребра. Получаем Г=9, Р=18, В=9 Тор по вашему дырок не имеет?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 08 Февраля 2017, 08:50:52
Так оказывается, вам нужны многогранники, топологически равные гирям с ручками? Никогда таких не видел
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 08 Февраля 2017, 09:48:37
Так оказывается, вам нужны многогранники, топологически равные гирям с ручками? Никогда таких не видел
Мгне неважно какие. Я просто предупреждаю, что иные невозможны и если будут доказательства невозможности, исходящие из выпуклости или формылы эйлера я просто предупредил, что не приму
Более того, у самого простого такого многогранника, что я до недавнего времени знал вроде как В+Г-Р=-10, но я что-то сомневаюсь в его топологической эквивалентности гире с шестью ручками
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 08 Февраля 2017, 11:44:09
вот как раз сферы с ручками и есть решение вашей задачи!!!

Если в вершине сходица ровно три ребра, тогда для любого многогранника:

3p3 + 2p4 + p5 = 6x + sum(k>=7, (k-6) pk)

p3 - число треугольников,
p4 - число квадратов,
p5 - число пятиугольников,
pk - число k-угольников,
x - эйлерова характеристика

для сферы x=2;
для сферы с одной ручкой x=0;
для сферы с двумя ручками x=-2;
для сферы с тремя ручками x=-4

формула про число шестиугольников ничего не говорит, но существует (может, даже не одно) количество шестиугольников, чтобы достроить любой набор pk.

Решаем:
1) 0 = 0 - это значит тор можно огранить шестиугольниками;
2) 0 = -12 + 2p8, p8=6 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и шестью восьмиугольниками;
3) 0 = -12 + 1p7, p7=12 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двенадцатью семиугольниками;
...
4) 0 = -12 + 6p12, p12=2 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двумя двенадцатиугольниками;
5) 0 = -12 + 12p18, p18=1 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и одним восемнадцатиугольником;

 
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 08 Февраля 2017, 12:01:23
вот как раз сферы с ручками и есть решение вашей задачи!!!
Ну, как сказать. Как по вашему, если взять граф из 5 точек, в котором каждая вершина соединена с каждой и чуть расширить точки и ребра, чтобы получилось объемное тело - это будет сфера с ручками? Вообще-то жэтот граф нерасположим на плоскости
Если в вершине сходица ровно три ребра
А если не 3?

1) 0 = 0 - это значит тор можно огранить шестиугольниками;
2) 0 = -12 + 2p8, p8=6 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и шестью восьмиугольниками;
3) 0 = -12 + 1p7, p7=12 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двенадцатью семиугольниками;
...
4) 0 = -12 + 6p12, p12=2 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двумя двенадцатиугольниками;
5) 0 = -12 + 12p18, p18=1 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и одним восемнадцатиугольником;
Ну, я вижу, вы какой-то минимализм вычислили. Это хорошо, но примеров не вижу.

Кстати, я только сегодня случайно нагуглил, что и правда существует подобный тору многогранник толко из шестиугольников, но описать или нарисовать его - увольте.  А известные мне жо этого примеры описывались словами.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 08 Февраля 2017, 12:10:58
(http://s018.radikal.ru/i503/1702/5c/98cecb9539db.png) (http://radikal.ru)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 08 Февраля 2017, 12:18:40
(http://s018.radikal.ru/i503/1702/5c/98cecb9539db.png) (http://radikal.ru)
А теперь докажите, что такая фигня невозможна как многогранник - где-то шестиуголдьники будут неплоские. Сие несложно
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 08 Февраля 2017, 12:31:03
Цитировать
что такая фигня невозможна как многогранник

Подделка, говорите? Всяко может быть... Но существование я вам строго доказал.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 08 Февраля 2017, 12:39:54
Цитировать
что такая фигня невозможна как многогранник

Подделка, говорите? Всяко может быть... Но существование я вам строго доказал.
Не знаю, не знаю, строго ли. некогда разбираться в вашем доказательстве. По-моему вы дам доказали всего лишь невозможночсть опрорвергнуть несуществование с одной какой-то стороны. Но факт, что если такой моногогранник подобен тору, то среди его граней обязаны быть  невыпкулые. И в том примере, что я видел невыпуклых немало.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 08 Февраля 2017, 12:45:46

Если в вершине сходица ровно три ребра, тогда

Тогда среди тех трех углов многоугольников, которые упираются в эту вершину либо есть угол больше 180 градусов либо их сумма строго меньше 360 градусов. Приехали.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 08 Февраля 2017, 18:23:33
Цитировать
некогда разбираться в вашем доказательстве

Фи... Вы раньше не видели этой формулы? 3p3 + 2p4 + p5 = 6x + sum(k>=7, (k-6) pk)

Это замечательнейшая формула, понятная всем, даже школьникам и нематематикам. Из нее сразу следует строение платоновых и архимедовых тел (у которых на вершину приходится три ребра). А также что у шаров из шестиугольников должно быть всегда 12 пятиугольников (если нет 3- или 4-угольников еще). И она работает не только для сферы.

Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 08 Февраля 2017, 18:46:12
В таком виде не узнаю
Из того, что что-то там говорит об обязательном существовании определеного количества многоугольников не следует обязательность существования такого многогранника вообще. Это всего лишь "ЕСли многогранник существует, то обязательно должно быть то-то и то-то" - Этовсе, что вы доказали.
А невозможность существования многогранника с вашей картинки доказывается элементарно
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 08 Февраля 2017, 18:55:15
Есть отдельная теорема, что для любого набора pk, для которого выполняется это равенство, существует некое количество шестиугольников, чтобы это все замыкалось.

(http://s50.radikal.ru/i128/1702/75/41f4903c1e1f.png) (http://radikal.ru)

Это решение для тора из треугольников с семью вершинами. Дуальным к нему будет тор из 7 шестиугольников. Вот и нарисуйте в объеме и в развертке, покажите всем, как тор складывается из 7-ми шестиугольников. Думаю, что тор можно будет узнать лишь с трудом если вообще...
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 08 Февраля 2017, 18:59:02
Вот это другое дело Это гуглиьтся должно по "многогранник Силаши" И грани у него, как и предсказывалось выше, есть невыпуклые
Но бывают многогранники и из выпуклых шестиугольников, но уже не тороподобные
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 08 Февраля 2017, 19:26:44
Ага, в таком виде действительно легко гуглится. Похож на исковерканный тетраэдр с дырой. Додуматься до такого самому, конечно, невозможно. А почему дуальное разбиение на шестиугольники открыли только через 29 лет после разбиения тора на треугольники??
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 09 Февраля 2017, 02:24:57
Ага, в таком виде действительно легко гуглится. Похож на исковерканный тетраэдр с дырой. Додуматься до такого самому, конечно, невозможно. А почему дуальное разбиение на шестиугольники открыли только через 29 лет после разбиения тора на треугольники??
?
А почему ограничение на хроматическое число плоскости >=4 нашли только через 11 лет после того, как задачу придумали?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 09 Февраля 2017, 07:37:27
Если че, вот еще
http://dxdy.ru/topic94700.html
До тороподобного многогранника там не дошли, но двольно убедително показано, что можно несколькими способами составить многогранник из усеченных тетраэдров, замыкая их друг на друга треугольниками, чтоыб треугольников не осталось И все шестиугольники - выпуклые
Даже картика одна есть
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 09 Февраля 2017, 08:34:25
А интересно, шары из 12 пятиугольников и некоторого числа шестиугольников можно бесконечно раздувать?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 09 Февраля 2017, 08:58:29
А интересно, шары из 12 пятиугольников и некоторого числа шестиугольников можно бесконечно раздувать?
Смотря в каком смысле. Вообще-то да, надо только помнить, что 3 правильных шестиугольника впритык могут дать только плоский угол.... Короче, непонятно, что значит "шары"
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 27 Февраля 2017, 09:14:13
Задача №15
Это головоломка моего друга Яркового Геннадия Ивановича. Она из серии танграммов. В его варианте квадрат сложен из семи подобных треугольников. Возник интересный сугубо математический вопрос: какова величина острого угла прямоугольных треугольников? Или чему равно отношение катетов? Скажу честно, точное значение угла я не нашел, хотя и составил тригонометрическое уравнение, которое тоже оказалось не по зубам. Но зато обнаружил, что меньший острый угол может принимать два значения! Удивительно!

(http://s019.radikal.ru/i639/1702/b6/3f31b78383c2.jpg) (http://radikal.ru)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 27 Февраля 2017, 11:33:01
Один угол таков:

acos( sqrt( -1/3 + 1/3*(25/2 - 3/2*sqrt(69))^(1/3) + 1/3*(25/2 + 3/2*sqrt(69))^(1/3) ))
~29.6762... градусов.

Второй лень искать(

Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 27 Февраля 2017, 13:57:08
Второй нашелся:

acos( sqrt( (1/18*(9+sqrt(93)))^(1/3) -  (3/2*(9+sqrt(93)))^(-1/3) ))
~34.3068... град
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 28 Февраля 2017, 08:39:08
Цитировать
Скажу честно, точное значение угла я не нашел, хотя и составил тригонометрическое уравнение, которое тоже оказалось не по зубам. Но зато обнаружил, что меньший острый угол может принимать два значения! Удивительно!

Николай, теперь, когда точные значения углов получены, то и решение стало очевидным. Оно очень простое и под силу любому старшекласснику. Также понятно, почему корней - два.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 28 Февраля 2017, 09:20:01
решение стало очевидным. Оно очень простое и под силу любому старшекласснику. Также понятно, почему корней - два.

ramon13, в чем же его очевидность? и почему понятно, почему корней - два?
Я тоже нашел эти приближенные значения углов в градусах, программируя! Так в чем же простота?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 28 Февраля 2017, 10:03:17
Николай, имея мои ответы, попробуйте подогнать решение под эти ответы, и все станет очевидным.
Название: Занимательная математика.
Отправлено: pytlivyj от 28 Февраля 2017, 22:16:29
Действительно, решение задачи № 15 сводится к составлению уравнения высокой степени, которое не решается с помощью радикалов. Даже после применения формул понижения степени тригонометрических функций, получим уравнение с тремя видами углов – искомым, двойным и четырёхкратным. Поэтому простоту и наглядность решения таких задач лучше всего увидеть графически.

Пусть длина стороны квадрата равна 1 ед., а величина острого угла прямоугольного треугольника равна Х. Тогда больший составляющий отрезок верхней стороны квадрата равен tg X, а меньший составляющий отрезок этой же стороны квадрата равен cos⁶X – это очевидно из рисунка условия задачи. Отсюда:
cos⁶X + tg X = 1 – уравнение (1),
или cos⁶X = 1 - tg X.
Т. к. острый угол в треугольнике имеет величину от 0ᵒ до 90ᵒ, то построим графики функций Y1 = cos⁶X и Y2 = 1 - tg X на отрезке от 0ᵒ до 90ᵒ.  Точки пересечения этих графиков и дадут нам искомые корни уравнения (1). Заодно проверим решение ramon13. В решении используем обычный инженерный калькулятор в базе компьютера.
X                  Y1                  Y2
0ᵒ                   1                      1
5ᵒ             0,977384          0,9125113
10ᵒ           0,912239          0,823673
15ᵒ           0,812199          0,73205
20ᵒ           0,688517          0,63603
25ᵒ           0,554184          0,539692
29ᵒ           0,447626          0,445691
30ᵒ           0,421875          0,4226497
34ᵒ           0,324672          0,3254915
35ᵒ           0,302125          0,2998
40ᵒ           0,20208            0,1609
45ᵒ           0,125                     0

Дальше нет смысла строить, т. к. графики этих двух функций сильно расходятся. Теперь наглядно видно, что график функции Y1 сначала лежит выше графика функции Y2, затем ниже, потом снова выше, и точки пересечения лежат в 0ᵒ, между 29ᵒ и 30ᵒ, а также между 34ᵒ и 35ᵒ. Т. е. на отрезке от 0ᵒ до 90ᵒ уравнение (1) имеет 3 корня, один из которых не рассматриваем.
Прибегнув к помощи всё того же встроенного калькулятора и потратив 7-8 минут времени, приближённым методом деления отрезка пополам находим значения искомых точек пересечения функций до 5-й точной цифры после запятой:
~ 29,67623…ᵒ;
~ 34,30680…ᵒ - те же значения!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 01 Марта 2017, 09:53:00
Уважаемый  pytlivyj! спасибо за пост! Именно это уравнение я тоже решал графически!
Приближенные значения корней находил программируя. Всё совпадает!
Не менее уважаемый ramon13 чуть выше приводит точные значения корней выраженные в радикалах и обратных тригонометрических функциях. но пользы от них я не извлек ни какой. Да её и нельзя видимо получить при таких корнях! Удивительно то, что можно делать два типа таких головоломок с углом 29,6° и 34,3°.
Печатая эту задачу на нашем форуме, я пытал иллюзии, чтобы углы были найдены точными, выраженными через Пи
Если бы уравнение решалась школьными приемами, то можно было предложить его ученикам. Ведь так редко случается, что за тригонометрическим уравнением скрывается реальная геометрическая конструкция! Обычно же в школе ученик решает триг. уравнение и не знает, какая модель описаны этим уравнением.
Кому интересно, можно прочитать мою статью про эту головоломку Яркового http://festival.1september.ru/articles/646322/
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: iaroslavski от 01 Марта 2017, 11:39:35
Кому интересно, можно прочитать мою статью про эту головоломку Яркового http://festival.1september.ru/articles/646322/

Отличная статья!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 01 Марта 2017, 18:56:16
Цитировать
ramon13 чуть выше приводит точные значения корней выраженные в радикалах и обратных тригонометрических функциях. но пользы от них я не извлек ни какой. Да её и нельзя видимо получить при таких корнях! Удивительно то, что можно делать два типа таких головоломок с углом 29,6° и 34,3°.

Печально, что ни Пытливый, ни Николай не увидели в моих решениях ничего, кроме нагромождения скобок. А ведь это корни кубических уравнений по формуле Кардано!! Там есть и корень из дискриминанта, и кубические радикалы, к слову...

Откуда же взялись эти кубические уравнения? Попробуем разобраться!

Имеем исходное уравнение (кстати, ноль не является его решением!):

sin(x)[cos(x) + cos3(x) + cos5(x)] = 1

Возводим в квадрат обе части, делаем замену  y = cos(x). После применения основного тригонометрического тождества sin2(x) + cos2(x) = 1, тригонометрическая часть решения заканчивается и начинается алгебраическая.

Имеем:
(1 - y2)(y + y3 + y5)2 = 1

Раскрываем скобки:
y12 + y10 + y8 - y6 - y4 - y2 + 1 = 0

Делаем замену z = y2, имеем:
z6 + z5 + z4 - z3 - z2 - z + 1 = 0

Разлагаем левую часть на множители, для этого угадываем первый множитель:
(z3 + z - 1)

Делением многочленов в столбик получаем второй множитель, имеем:
(z3 + z - 1) (z3 + z2 - 1) = 0

Таким образом, решение задачи свелось к решению двух кубических уравнений. Теперь становится понятным, почему решений - два! Несмотря на простейший вид уравнений, точная запись решений в кубических радикалах оказывается весьма громоздкой. Поскольку точные решения в радикалах приводились мной выше, найдем те же решения численно, организовав итерационный процесс с участием производной, при этом число верных знаков удваивается на каждой итерации:

Для первого уравнения:
z := z - (z3 + z - 1)/(3z2 + 1)

1.000000000000000
0.750000000000000
0.686046511627907
0.682339582597314
0.682327803946513
0.682327803828019
0.682327803828019 - процесс сошелся!

Для второго уравнения:
z := z - (z3 + z2 - 1)/(3z2 + 2z)

1.000000000000000
0.800000000000000
0.756818181818182
0.754881474439750
0.754877666261399
0.754877666246693
0.754877666246693 - процесс сошелся!

Окончательно:
x = acos(sqrt(z)) = 34.306805124062492... или  29.676233031033849...
 
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 01 Марта 2017, 19:24:32
Цитировать
Кому интересно, можно прочитать мою статью про эту головоломку Яркового

Придется серьезно переделывать, уравнение не такое сложное. Вполне на уровне понимания школьников.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: iaroslavski от 01 Марта 2017, 22:43:41
Действительно, как просто!
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 02 Марта 2017, 21:24:57
ramon13, поздравляю с решением. Тоже дошёл до этого момента, но не довёл до ума.
Делаем замену z = y2, имеем:
z6 + z5 + z4 - z3 - z2 - z + 1 = 0

Разлагаем левую часть на множители, для этого угадываем первый множитель:
(z3 + z - 1)
Угадывать тут и не надо...

z⁶ + z⁴ - z³ = z³ *(z³ + z - 1) и
z⁵ - z² - z + 1 = z² * (z³ - 1) – (z - 1) = (z - 1) * (z² * (z² + z + 1) - 1) = (z - 1) * (z⁴ + z³ + z² - 1) = (z - 1) * (z + 1) * (z³ + z - 1) = (z² - 1) * (z³ + z - 1), отсюда окончательно имеем:
z⁶ + z⁵ + z⁴ - z³ - z² - z + 1 = (z³ + z - 1) * (z³ + z² - 1).

Давненько я не решал многочлены - аж более 26 лет после окончания школы. Последние 3 года я учился в классе с математическим уклоном, у нас было 10 уроков математики в неделю, причём 2 из них факультативно во внеурочное время, где нам частенько задавали подобные примеры превратить расписанные многочлены обратно в произведения скобок. Да, ни в институте, ни в жизни, ни по работе не применялось и немного подзабылось...
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 02 Марта 2017, 21:57:22
ramon13,  спасибо за сведение тригонометрического уравнения в алгебраическое, я не догадался!
Это продвижение в этой задачке.
Корни  Вы нашли, выражения грамоздкие, но что делать, какие есть!
Приближенные значения углов совпадают с найденными мною, что радует, значит я не ошибся.
Пожалуй мы больше ничего хорошего не выжмем из этой темы!
Упрощенный вариант разложения, которое привел pytlivyj - приятен!
Всем, кто откликнулся, я благодарен! И могу запускать новую задачку!

 
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 02 Марта 2017, 22:36:45
Как-то лет 10 назад решил приближённо с помощью только линейки и циркуля построить угол в 1 радиан. И построив всего 2 простых треугольника, достиг погрешности в + 1'46,0184" в градусном измерении (+ 0,0514 %). А кто-нибудь пробовал подобное?
Если интересно, напишу потом решение.

P. S. Уважаемый Николай, задачки в студию.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 02 Марта 2017, 22:44:29
Цитировать
Пожалуй мы больше ничего хорошего не выжмем из этой темы!

Я еще посчитал для 9ти треугольников и для 11ти треугольников. Углы получились примерно 17 и 11 градусов
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 02 Марта 2017, 23:01:47
ramon13, в сторону увеличения числа треугольников можно продвигаться, я пробовал, получается!
А вот для пяти треугольников - нельзя! А жаль!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 02 Марта 2017, 23:03:30
Задача № 17. Разрежьте фигуру на пять частей и сложите из них квадрат.

(http://s012.radikal.ru/i320/1703/34/ed579ab4617b.jpg) (http://radikal.ru)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 03 Марта 2017, 09:43:08
Цитировать
Как-то лет 10 назад решил приближённо с помощью только линейки и циркуля построить угол в 1 радиан.

Квадратура круга - дело неблагодарное. Даже 60 град. - хорошее приближение к радиану.
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 03 Марта 2017, 16:14:22
Квадратурой круга я тоже занимался отдельно - достиг погрешности в построении менее 1/1 000 000 площади круга.
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 03 Марта 2017, 16:33:26
ramon13, в сторону увеличения числа треугольников можно продвигаться, я пробовал, получается!
А вот для пяти треугольников - нельзя! А жаль!
Этому есть вполне логическое объяснение - чем больше треугольников, тем острее угол, а чем их меньше - тем угол больше. Поэтому для 5 треугольников угол становится больше 45 градусов и отсекает внутри квадрата пятиугольник.
Пожалуй мы больше ничего хорошего не выжмем из этой темы!
Оказывается ещё можно выжать. Для того, чтобы задачу про 7 треугольников превратить в задачу про 5 треугольников, необходимо квадрат "растянуть" влево до прямоугольника. Итак,

Задача № 18: найти угол этих 5 шт. подобных треугольников и соотношение сторон прямоугольника, в который они вписаны.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 04 Марта 2017, 09:17:34
Цитировать
тому есть вполне логическое объяснение - чем больше треугольников, тем острее угол, а чем их меньше - тем угол больше. Поэтому для 5 треугольников угол становится больше 45 градусов и отсекает внутри квадрата пятиугольник.

Все таки, сложить квадрат из пяти подобных треугольников можно.
Запишем уравнение по другому:

sin(x)cos(x) + sin(x)cos3(x) + 1/sin(x)*cos5(x) = 1

x = 45 градусов, два маленьких треугольника получились равными.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Philipp от 04 Марта 2017, 09:26:45
Вы сейчас все укладушки здесь высчитаете математически, а что конструкторы таких головоломок будут делать?
Николай недальновидно выложил задачку. :)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 04 Марта 2017, 09:39:17
Вы сейчас все укладушки здесь высчитаете математически, а что конструкторы таких головоломок будут делать?
Николай недальновидно выложил задачку. :)

Дорогой Philipp! может быть ты и прав!
Но эта моя разработка уже опубликована в журнале "Математика в школе".
У него довольна узкая и специфическая аудитория читателей - учителей математики.
Решил чуть-чуть расширить её! Но и задачка сама по себе интересна! Как мне кажется!
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 06 Марта 2017, 22:35:15
x = 45 градусов, два маленьких треугольника получились равными.
Для 45 градусов рассматривать не интересно, т. к. кол-во подобных треугольников можно автоматически сделать равным от 2-х до бесконечности. Кроме этого, ни один из катетов самого маленького треугольника при этом не лежит на одной прямой с катетом самого большого треугольника. Всё-таки нужно рассматривать треугольники как в задаче № 18.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 07 Марта 2017, 08:55:07
Я не виноват, 45 вылезло само из решения, если подставить гипотенузу
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 08 Марта 2017, 08:37:23
Таак, а почему молчит Николай?

Ответ на задачу Пытливого об укладке ПЯТИ треугольников в прямоугольник.
Угол равен 36.85 град, отношение сторон 0.7872

Думаю, для школьников такое решать будет так же тяжело, разве что на информатике вместо математики, ха-ха-ха.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 08 Марта 2017, 09:36:56
Друзья, извините! Цейтнот!
Но задачки все интересные!

А зачем долго искать? Пять треугольников Яркового образуют прямоугольники, даже два.
Тут, конечно, надо быть аккуратным, чтобы не окзалось равных треугольников!

(http://s46.radikal.ru/i111/1703/c4/9d8442600641.jpg) (http://radikal.ru)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 08 Марта 2017, 11:50:52
Николай, хвалю за изобретательность! Воистину колумбово решение) Но как найти самый толстенький прямоугольник, наиболее приближенный к квадрату?
Название: Занимательная математика.
Отправлено: pytlivyj от 08 Марта 2017, 19:02:02
Ответ на задачу № 17:

(https://content.foto.my.mail.ru/mail/pytlivyj/69/h-141.jpg)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 10 Марта 2017, 21:54:39
Отлично, pytlivyj!
Вы нашли одно из шести известных мне решений этой задачи!
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 11 Марта 2017, 23:07:42
Тут, конечно, надо быть аккуратным, чтобы не окзалось равных треугольников!

(http://s46.radikal.ru/i111/1703/c4/9d8442600641.jpg) (http://radikal.ru)

Переобозначим величину нижней стороны выделенного прямоугольника как 1 ед. и найдём величины длинных катетов вертикального одиночного треугольника (Х), первого (Y1) и второго (Y2) снизу горизонтальных треугольников. Пусть величина короткого катета второго снизу треугольника равна А, а величина короткого катета четвёртого снизу треугольника равна В.

1) для угла α1 = 34.306805124062492...

Y1 = cos α1 = 0.826031357654... ед.
Y2 = cos² α1 = 0.682327803828... ед.
А = sin α1 * cos α1 = 0.4655712318... ед.
В = sin α1 * cos³ α1 = 0.317672196171... ед.
Х = А + В = 0.783243428... ед. - нет равных треугольников;

2) для угла α2 = 29.676233031033849...

Y1 = cos α2 = 0.8688369618327094... ед.
Y2 = cos² α2 = 0.75487766624669298... ед.
А = sin α2 * cos α2 = 0.4301597090019466... ед.
В = sin α2 * cos³ α2 = 0.324717957244746... ед.
Х = А + В = 0.75487766624669298... ед. - вертикальный одиночный и второй снизу горизонтальный треугольники РАВНЫ!
Поэтому по условию задачи № 18 данному колумбовому решению удовлетворяет только один ответ!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 12 Марта 2017, 09:49:53
Проверил свое решение по методике Пытливого:

36.85.. градусов

cos(x) = 0.800...
cos2(x) = 0.640...
A = 0.480...
B = 0.307...
A+B = 0.787...

Кто даст большую величину для A+B?
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 13 Марта 2017, 22:57:13
A+B = 0.787...

Кто даст большую величину для A+B?
Не будем гадать, решим математически. Обозначим величину длинного катета вертикального треугольника как Y, тогда
Y = (1 - cos⁴α)/ tg α = ctg α - (cos⁵α)/ sin α)

Производная функции:
Y' = -1/ sin²α - 5 * cos⁴α * (- sin²α)/ sin²α + cos⁵α * cos α/ sin²α = (4 *cos⁶α - 5 * cos⁴α + 1)/ sin²α

Y' = 0, т. е. (4 *cos⁶α - 5 * cos⁴α + 1) = 0

Обозначим cos²α = X.

4 * X³ - 5 * X² + 1 = 0
Это уравнение имеет 3 корня.
Х1 ˂ 0, Х2 = 1 - отбрасываем, находим Х3.
x: = x - (4 * x³ - 5 * x² + 1)/ (2 * x *(6 * x - 5)) - отсюда Х3 = 0,6403882032020756872767623199676...,
тогда α = arccos (√X3) = 36,846725738056392177... = 36⁰50'48,21"
Y = 0,787200323568759... - максимально возможная величина вертикальной стороны прямоугольника.

P. S. Искомые треугольники получились почти как ЕГИПЕТСКИЕ, только для них угол будет α = 36,869897645844... = 36⁰52'11,63" - отличается всего на 1'23,42" (!!!) от найденных, а Y = 0,7872. :)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 14 Марта 2017, 08:55:29
Цитировать
Y = 0,787200323568759... - максимально возможная величина вертикальной стороны прямоугольника.

Зато при соотношении 0.75 получается красивый угол и красивая новая головоломка + задачка для школьников!! Николай, берите на вооружение, любезно дарю.

Также можно заюзать число 7*sqrt(3)/16 = 0.75777222..., тоже хороший угол получается (на равенство не проверял)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 14 Марта 2017, 11:57:30
Задача N18

Сколько раз (в среднем!) нужно подбрасывать монетку, чтобы выпало подряд:

1) два орла?
2) сначала орел, потом решка?

Задачу можно решить как численно, используя любой язык программирования где есть датчик случайных чисел.
Так и аналитически (сложные формулы не требуются, решается просто).

zatamon, если что - пиши в личку, я знаю что ты крутой математик.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 16 Марта 2017, 18:19:14
Да какой я крутой математик, так балуюсь. Только щас сюда заглянул
1. Что-то у меня 6 получилось, но это в лоб, суммируя 2 ряда
2. Потом подумаю, на входных теперь наверное

PS Понятно, что (2) меньше, щас проснулся, проверил (1) монтекарлингом, сошлось, получил
ответ монтекарлингом и для (2), как получу его аналитически ,могу ответить и в личку
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 17 Марта 2017, 07:22:54
Zatamon правильно решил задачу, суммируя бесконечные телескопические ряды! И даже проверил на компьютере!  Поздравляем героя-математика!

Но как найти решения с полпинка, не прибегая к инфинитезималиям? Я ведь обещал, что есть простое решение!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 17 Марта 2017, 07:50:34
Но как найти решения с полпинка, не прибегая к инфинитезималиям? Я ведь обещал, что есть простое решение!
Щас работа, потмо вечер пятницы, потом на крышу гаража лезть снег убирать, поэтому отвечу нескоро, но...
Полуоффтоп: по поводу тех рядов, которые я суммировал у меня есть одна идея, неоформленная, но все-таки...
Рассмотрим ряд 1*1/2 +2*1/4+3*1/8+4*1/16
С одной строны его можно суммировать так, как я суммировал те ряды и как учили в универе. С другой стороны я с годик -другой назад обнаружил, как его можно просуммировать с полпинка, но над этой идеей не думал, может и тут что похожее есть?
Рассмотрим следующую задачу: треугольник(граф), 1 вершина - дом, в другой сидит пьяный и случайно блуждает в одну из 2х сосдених вершин пока не попадет в дом. С однйо строны матожидание числа его ходов - это вышуепомянутый ряд. С другой - обозначим его x . Если он сидит в другой вершине не-в-доме, матожидание его ходов очевидно то же самое - x
Тогда на x вылазит очевидное уравнение x=1/2*1+1/2(x+1) - то есть это просто уравнение на сумму того ряда.
Вот может и тут что-то похожее есть?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 17 Марта 2017, 09:51:41
Короче говоря, пришел Zatamon и все решил... Да, именно такие простые уравнения, причем их можно составить априорно, ничего не зная про сложные ряды. Типа на уровне орел-решка.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 17 Марта 2017, 10:32:21
Обращаясь к этой задаче, постоянно ощущал, что схожу с ума, почти уже накатывали приступы безумия... Не один ли хрен, сначала орел и потом еще один, или сначала орел, а потом решка? Только-только успокоился. У (1) и (2) разная расплата за ошибку. У (1) теряется 2 хода, а у (2) только один, поэтому (2) получается быстрее.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 17 Марта 2017, 10:38:36
Мне тоже сначал казалось, что один хрен. И толко когда не получилось применить рассуждения , которыми обосновывал ряды для 18.1 для обоснования 18.2 понял, что у 18.2 будет меньше, еще вчера, когад спать ложился
Эх, еле заснул вчера, не надо было поздним вечером вчера заходить на этот форум:-)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 19 Марта 2017, 11:37:52
Цитировать
Полуоффтоп: по поводу тех рядов, которые я суммировал у меня есть одна идея, неоформленная, но все-таки...
Рассмотрим ряд 1*1/2 +2*1/4+3*1/8+4*1/16
С одной строны его можно суммировать так, как я суммировал те ряды и как учили в универе. С другой стороны я с годик -другой назад обнаружил, как его можно просуммировать с полпинка, но над этой идеей не думал, может и тут что похожее есть?

Древние умели суммировать только геометрические  прогрессии, так как у них была аксиома - ежели от целого взять часть, а от той части еще часть, а потом от того что осталось еще часть, и так далее, то получим что-то очень малое, меньше любого наперед заданного конечного числа.

А вот ряд 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32... сумели просуммировать только в XIV веке. Ричард Свиноголовый мог рассуждать примерно так:

Пусть сумма ряда равна х, тогда
x = 1/2 (2 + x), где 2-ка получена суммированием геометрической прогрессии (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ..).
Отсюда x=2.

Можно посчитать еще так. Рассмотрим степенной ряд формальной переменной.
x = y (1 + 2y + 3y2 + 4y3 + ...) = y (y + y2 + y3 + y4 + ...)' = y (y/(1-y))' = y/(1-y)2
Подставляем y = 1/2, получаем x = 2

P.S. Вру, Ричард и Орем сложили ряд более наглядно, а именно как (1/2 + 1/4 + 1/8...) + (1/4 + 1/8 + 1/16...) + (1/8 + 1/16 + 1/32...) +...
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 19 Марта 2017, 11:42:46
Задача N19.

Используя калькулятор Виндовс, определить, какая великая закономерность скрывается за неприметным с виду вещественным числом, первые цифры которого равны:

2.5665438321713888444675291063322...
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 21 Июля 2017, 10:44:48
20
Есть остров в виде точки
На острове находится локатор, которые посылает луч постоянной длины, вращающийся с постоянной угловой скоростью
Если корабль попадает под этот луч, он немедленно уничтожается
Кораблю надо попасть на остров.
По какой траектории ему надо двигаться, если его скорость минимально возможная для этого, и как вычислить эту минимально возможную скорость?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 11 Августа 2017, 18:39:21
Никто не откликнулся на задачу №20.
Наверно трудная для нашего сообщества!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 11 Августа 2017, 18:51:50
Задача №21
Это скорее интересная головоломка. Когда вы нажимаете на какой-нибудь квадрат в игровом поле nхn, то он меняет цвет, а также меняют цвет все его соседи по стороне. Цель состоит в том, чтобы поменять цвет всех квадратов на поле. Попробуйте, удачи!
Головоломка расположена по ссылке, можно реально поиграть: http://bz.var.ru/comp/web/js/floor.html
Обратите внимание: существует 13 уровней.
Для поля 3х3 квадрат перекрашивается за 5 нажатий;
Для поля 4х4 квадрат перекрашивается за 4 нажатия;
Для поля 5х5 квадрат перекрашивается за ? нажатий;
Должен признаться, что я общего алгоритма перекрашивания не придумал. Кроме этого интересно в каждом уровне найти наименьшее число нажатий для перекрашивания квадратного поля.

(http://s018.radikal.ru/i503/1708/be/88a0269bed96.png) (http://radikal.ru)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: djpibody от 11 Августа 2017, 21:39:53
15?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 11 Августа 2017, 23:05:19
Я знаю ответ в случае 3х3 и 4х4, 5х5, 6х6, 7х7 и не знаю ответа в случае 8х8 и более.
Для перекраски квадрата 5х5 нужно нажать на клетки, отмеченные числом 1, то нужно сделать 15 нажатий.
Вот они:

1  0  1  1  0
0  1  1  1  0
1  1  1  0  0
1  1  0  1  1
0  0  0  1  1

Удачи!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: iaroslavski от 13 Августа 2017, 22:52:40
Никто не откликнулся на задачу №20.
Наверно трудная для нашего сообщества!

Эта задача есть в сборнике задач по физикке, авторы ББК - Бутиков-Быков-Кондратьев,
решали ее в 9-м классе.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 14 Августа 2017, 07:27:00
Ясненько!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 24 Октября 2017, 21:44:41
Логическая задача про муравьев.

У муравьев есть три касты:
1) Царица, которая откладывает яйца;
2) Стражники, своими большими челюстями они охраняют муравейник;
3) Рабочие, которые добывают еду и следят за муравейником, достраивая его и ремонтируя. Они же ухаживают за потомством.

Царица и стражники не могут существовать и жить без рабочих муравьев, которые их обслуживают и кормят. Это (по крайней мере, в условиях данной задачи) верно для всех муравьев. Однако, существуют отдельные виды муравьев, у которых каст меньше. Варианты:
1) Царица и стражники;
2) Только одна царица.

Каков образ жизни этих видов в первом и втором случае?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 25 Октября 2017, 13:51:20
имхо, в обоих случаях паразитический. Подробностей не скажу, но например царица убивает чужую царицу другого вида, вселяется в чужой муравейник и заставляет рабочих работаь на себя. Возможно, в первом случае она это делает при помощи стражников
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 25 Октября 2017, 13:55:07
вот по запросу "муравьи паразиты" нашел такое:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%82%D0%B8%D0%B7%D0%BC_%D1%83_%D0%BC%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8C%D1%91%D0%B2

>Оплодотворённая самка паразитирующего вида проникает в гнездо вида-хозяина (в ряде случаев убивает в нём царицу, занимая её место) и начинает откладывать свои собственные яйца. Вышедшие из них рабочие особи постепенно заселяют муравейник, сменяя его хозяев

Тут однако с рабочими.. но может есть где и с нерабочими

>«Рабовладельцы» муравьи-амазонки (Polyergus) воруют коконы видов-«рабов», подвергая набегам и разграблению соседние гнёзда муравьёв. В них они добывают куколки хозяев и приносят их в своё гнездо, чтобы из них воспитать «рабов»

А вот это видимо, случай 1
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 27 Октября 2017, 14:58:24
Поздравляю, отгадка гениальна! Это действительно паразитизм. К сожалению, не могу найти первоисточник задачи, где я ее прочитал.

Там же в Вики ниже говорится, что есть такие царицы-паразиты, которые не плодят ни рабочих, ни стражников, а живут в чужом муравейнике, пока в нем не перемрут все первоначальные рабочие. Не понятно только, что потом, умирает ли она сама от голода или ищет новый муравейник?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 10 Мая 2018, 10:59:20
Стакан чая и две булочки стоят рубль. После первого подорожания, на рубль можно было купить стакан лишь с одной булочкой. Хватит ли на чай (без булочек) одного рубля после второго подорожания? (Чай и булочки дорожают на равное число процентов).
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: iaroslavski от 10 Мая 2018, 11:08:54
Получается, что нет.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 10 Мая 2018, 13:38:07
Стакан чая и две булочки стоят рубль. После первого подорожания, на рубль можно было купить стакан лишь с одной булочкой. Хватит ли на чай (без булочек) одного рубля после второго подорожания? (Чай и булочки дорожают на равное число процентов).
Почему не хватит? Вообще-то в условии имхо надо добавить или подтвержджение или отрицание следующего:
1. Они дорожают на целое число процентов
2. они до и после каждого подорожания стоят целое число копеек

Но и в случае самого строгого возможно
изначаьно
50+25+25
подорожание на 20%
после первого подорожания
60+30 =90
после 2го
72
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 10 Мая 2018, 15:06:39
Единичный пример может опровергнуть, но не доказать.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Doctor Hedron от 10 Мая 2018, 21:35:18
Целочисленность копеек или тем более процентов не имеет значения, но в условии все равно есть неточная фраза:
Цитировать
После первого подорожания, на рубль можно было купить стакан лишь с одной булочкой.
Это означает "стакан с одной булочкой стоит ровно 1 руб", или же "стакан с одной булочкой стоит меньше 1 руб, а с двумя - уже больше"?

В любом случае, экстремальный пример для наглядности: если чай изначально стоит 0.02, а булочки по 0.49 каждая, то даже в первом случае (0.02 + 0.49) * x = 1; x ~= 1.96, т.е. +96%. Второе подорожание -> x * 1.96 * 1.96 -> чай стоит 0.0769, то есть в рубль укладывается спокойно.

А вот если и чай, и булочка (1 шт) стоят одинаково по 0.(3), то уже не влезет, т.к. второе умножение числа на ту же величину приводит к большему увеличению с т.з. сложения. A * N = B, B * N = C => (C - B) > (B - A). Но про одинаковость стоимости в задаче ничего не сказано.

В общем, ответ зависит от соотношения цены чая и булочки, и "да" сменится на "нет" в районе цены чая чуть меньше цены булочки.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 10 Мая 2018, 21:49:10
Насколько я понимаю, там решение гладкое на интервале (0, 1). А можно более детальный пример? значит, 1/3, 1/3 и 1/3. Потом что, в цифрах?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Philipp от 10 Мая 2018, 21:58:01
Зачем Вы подстановками занимаетесь?
Мне кажется, здесь систему уравнений надо составить из пропорций.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Doctor Hedron от 10 Мая 2018, 22:45:55
Насколько я понимаю, там решение гладкое на интервале (0, 1). А можно более детальный пример? значит, 1/3, 1/3 и 1/3. Потом что, в цифрах?
Хе, начал расписывать, получил противоположный ответ и понял, что я ступил вот тут:
А вот если и чай, и булочка (1 шт) стоят одинаково по 0.(3), то уже не влезет, т.к. второе умножение числа на ту же величину приводит к большему увеличению с т.з. сложения. A * N = B, B * N = C => (C - B) > (B - A). Но про одинаковость стоимости в задаче ничего не сказано.
Вернее, фраза про умножение-то верна, но вывод я из нее сделал противоположный, потому что применил в обратную сторону.

Ответ: чай после двух подорожаний будет <= 1 рубля в любом случае, где "=" в крайнем случае (чай 1 р, булочка 0 р).

Зачем Вы подстановками занимаетесь?
Мне кажется, здесь систему уравнений надо составить из пропорций.
Хотел показать логику для общего случая, безотносительно соотношения цены чая и булки, да только себя запутал. :) С уравнениями выходит лучше, да.

Ч + 2 * Б = 1
Ч * N + Б * N = 1 // N - коэффициент подорожания, и назовем Ч / Б = П (Пропорция), тогда подставим Ч = П*Б

N ( Ч + Б) = Ч + 2 Б
N = (Ч + 2Б) / (Ч + Б)
N = ((П+2) Б) / ((П+1)Б)
N = (П+2) / (П+1)

П - в общем случае любое число >= 0. Но здесь заметим, что ф-ция (x+2)/(x+1) при x >= 0 имеет максимум в точке 0 (2), а дальше строго убывает, т.е. уже как минимум видно, что N * N (два подорожания) будут не больше, чем в 4 раза.

Кроме того, мы знаем, что Ч + 2Б = 1, т.е. Ч (1 + 2/П) = 1. Отсюда Ч = 1 / (1+2/П), и итоговая цена чая после двух подорожаний, т.е. Ч * N * N, выражается через П как (П+2)^2 / [(П+1)^2 * (1+2/П)]. Это уже менее очевидно на глаз, но можно запихнуть в Вольфрам и увидеть, что это асимптотически приближается к 1 снизу. То есть цена 1 чая после 2 подорожаний будет <=1, и тем больше, чем больше пропорция чая к булочке (если П = +inf, то Б = 0, чай = 1).

Зря я начал кириллицей это все обозначать, с утра причешу, наверное. :)

P.S. В случае, если в задаче фраза "После первого подорожания, на рубль можно было купить стакан лишь с одной булочкой" означает, что Ч * N + Б * N <= 1, а не = 1, то ответ остается тем же - итоговая сумма будет всяко меньше, а не больше, чем если бы там было = 1.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Philipp от 11 Мая 2018, 06:17:16
Систему уравнений надо упростить через преобразование по формулам.
Чувствую, что решение простое будет.
Такие задачки от ответа создают.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 11 Мая 2018, 08:35:23
Цитировать
А вот если и чай, и булочка (1 шт) стоят одинаково по 0.(3), то уже не влезет

Можно было на пальцах заметить, что это не так:

1) 1/3 + 1/3 + 1/3
2) 1/2 + 1/2
3) 3/4 < 1 - на чай хватит

Цитировать
Ч + 2 * Б = 1
Ч * N + Б * N = 1 // N - коэффициент подорожания

Система составлена правильно, но дальше идет тихий ужас. Там все гораздо проще. Вместе с тем, требуется один смекалистый шаг, чтобы избежать графиков, мат. анализа и машинной алгебры.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 22 Мая 2018, 11:04:41
ramon13
Если нет условия на целочисленност ь в копейках цен и проче - в чем задача-то заключается?
Понятно, что если изначально чай с булочкой не пеерпрыгнули рубль. то потом(после 1го подорожания) чай (который после 1го подорожания меньше чем чай с булочкой до  1го подорожания) тоже не перепрыгнет через рубль
Об этом спрашивалось? тогда почему в условии не спрашивается "ОБЯЗАТЕЛЬНО ЛИ хватит..."?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 22 Мая 2018, 12:33:07
Zatamon,

Doctor Hedron решил задачу правильно (степень, видимо, обязывает), за исключением того, что конечное выражение не очевидно ученику 6-7 класса, которому она адресована. Пришлось делать численную и графическую проверку. Задача формулируется нарочито  не четко. В первый раз можно было купить чай и две булочки (про сдачу ничего не говорится). Во второй раз можно было купить чай с одной булочкой (опять про сдачу ни слова).
Поскольку решение предполагает единственный ответ при стоимости чая 0<x<1, то и уточнения ни к чему.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 22 Мая 2018, 12:38:06
Цитировать
Понятно, что если изначально чай с булочкой...

Мне лично, тупарю, не понятно. Вот когда будет алгебраическое неравенство, тогда я посмотрю на него и скажу, что оно истинно.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 22 Мая 2018, 12:45:15
Цитировать
Понятно, что если изначально чай с булочкой...

Мне лично, тупарю, не понятно. Вот когда будет алгебраическое неравенство, тогда я посмотрю на него и скажу, что оно истинно.
А чего там?
до всех подорожаний после чая с булочкой можно купить только булочку и все
После 1го подолрожания после чая можно купить подорожавшую(!) булочку и может еще и сдача останется
Отсюда до всего чай с булочкой стоит больше чем после 1го подорожания чай
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 22 Мая 2018, 12:57:33
В первый раз можно было купить чай и две булочки (про сдачу ничего не говорится).
Если в 1й раз есть сдача, то чожет и не хватить на чай. Потму что иначе это бесконечно работало бы с каким угодно количеством булочек
Короче пример такой:
48+2+2
подорожение на 100% (2кратное)
96+4
и еще на 100% (до 1.92) не хватит

В чем задача-то заключается?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 22 Мая 2018, 13:08:59
Пример хреновый.
С такими ценами можно было бы купить и 3 булочки:
48+2+2+2 < 100

Вы неправильно расставляете акценты родного великого и могучего Русскаго языка!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 22 Мая 2018, 13:15:15
Да поджалуйста, вот пример получше
0.94001,0.02,0.02
Подорожение в (1/(0.94001+0.02))=1,04165581608525 раз

0,94001   0,02   0,02
0,979166883678295   0,020833116321705   0,020833116321705
1,01995487930156   0,0217009367836845   0,0217009367836845
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 22 Мая 2018, 13:33:00
Да поджалуйста, вот пример получше
0.94001,0.02,0.02
Подорожение в (1/(0.94001+0.02))=1,04165581608525 раз

0,94001   0,02   0,02
0,979166883678295   0,020833116321705   0,020833116321705
1,01995487930156   0,0217009367836845   0,0217009367836845
И даже такое подойдет (где изначально все с целочисленными копейками)
0,9   0,04   0,04
0,957446808510638   0,0425531914893617   0,0425531914893617
1,01856043458579   0,0452693526482571   0,0452693526482571
коэффициент подорожания подбираем так, чтобы после 1го сумма чай+булочка была ровно 1 без сдачи, то есть 1/(0.9+0.04)
2е подорожание и чай больше 1
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 22 Мая 2018, 13:40:02
на самом деле писать дольше раз в 100, чем понять для себя, что если изначально со сдачей, то это может не работать
Потому, что представим себе, что это работает даже если изначально со сдачай (от противного)
Тогда пусть мы  можем на рубль купить чай с любым количеснвм (Н) булочек
Тогда чай с Н-2 булочкой назовем чаем
Тогда получается число булочек может быть любым и после каждого подорожания мы всегда не купим Н булочек, но купим Н-1
но этого не может быть никогда, потому что как только чай подорожает, допустим в 4 раза (если он изначально больше 25 коп, то добавми булочек) шаг подорожания станет точно больше 2х булочек

Осталось только циферки подобрать, но, тут мне повезло сразу же
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 22 Мая 2018, 13:44:56
Ладно, первое равенство должно быть строгим, спасибо за ценное указание. Поищем оригинал задачи в интернете, находим:

До повышения цен чай с двумя пряниками стоил 1 р. Когда все цены вырос-
ли (на одинаковое число процентов), рубля стало хватать только на чай с одним пряником. Потом
цены опять выросли, причём на столько же процентов, как и в первый раз. Хватало ли после этого
рубля хотя бы на чай?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 22 Мая 2018, 13:48:49
До повышения цен чай с двумя пряниками стоил 1 р.
Если бы с 1р. была сдача, то он стоил бы не 1р., а на 1р. "можно было бы купить..."
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 22 Мая 2018, 14:02:42
Никто с этим не спорит.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Doctor Hedron от 02 Июня 2018, 15:16:29
Тоже вспомнилась задачка. Не столько математическая, сколько просто хитрая.

Я загадал число - это либо 3, либо 7, либо 10. Можно задать мне один вопрос, на который я честно отвечу "да", "нет", или "не знаю". Какой вопрос нужно задать, чтобы по ответу гарантированно отгадать число?

Решение не зависит от "меня" и "моих собственных знаний" (для ответа "не знаю") - на моем месте может быть любой человек. "Не знаю" - это не то же самое, что "науке это пока что неизвестно" или "неопределенность" (типа "если поделить 1 на [число-7], будет плюс или минус?"); это твердое, абсолютное "не знаю" для любого человека хоть в 2018, хоть в 3542 году.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ecuber от 02 Июня 2018, 15:46:06
Это число круглое?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Doctor Hedron от 02 Июня 2018, 16:02:50
Это число круглое?
Допустим, я отвечаю "нет". Тогда остаются два варианта - 3 и 7.

Нужен вопрос, который раскидает эти три числа по возможным вариантам моего ответа.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 02 Июня 2018, 21:12:17
Цитировать
"неопределенность" (типа "если поделить 1 на [число-7], будет плюс или минус?"); это твердое, абсолютное "не знаю" для любого человека хоть в 2018, хоть в 3542 году.             

Пока пришла на ум именно неопределенность, перефразируем, упрятав бесконечность под арктангенс)  Если стержень, способный двигаться в плоскости, установить под углом floor(x/3)*45 градусов, он упадет вправо (от точки касания или крепления)?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 03 Июня 2018, 08:04:32
Я беру радиодеталь, резистор 7 Ом +/- 10%. Измеряю его сопротивление в омах. Оно будет больше чем задуманное число?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 03 Июня 2018, 12:49:22
Если из этого числа вычесть 5, оно будет больше или меньше константы Бруна?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 03 Июня 2018, 12:59:02
Интересно, но противоречит условию, так как в 3542 году значение константы может быть уточнено.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 03 Июня 2018, 13:12:29
Кота Шредингера сажают в ящик в 3 часа дня, квантовый триггер устанавливают на 7 часов, классический триггер устанавливают на 10 часов. Открывают крышку в x часов 5 минут. Будет ли кот жив?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 03 Июня 2018, 14:09:02
Если вероятность выиграть приз равна (x-3)/7, мне повезет?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ecuber от 03 Июня 2018, 14:40:50
Сколько стоит килограмм капусты,если козырь буба? ;D
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 03 Июня 2018, 16:00:31
Zatamon,
а если взять принципиально невычисляемую константу?

Если я найду (х-3)/7, это больше (или меньше) той вероятности, с которой произвольная программа зациклится от произвольных входных значений?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Doctor Hedron от 03 Июня 2018, 18:47:36
:D отличные варианты. С вероятностью от 0 до 1 интересный подход.

Ну в общем да, вариантов решения великое множество, но в основном они сводятся к введению вероятности и созданию дополнительного условия: "если также дано следующее, то [вопрос]". Например, без констант Бруна и преобразований типа (x-3)/7, можно "на пальцах" примерно так: На районе булочка стоит от 5 до 8 рублей, в зависимости от ларька. Ты подходишь к первому попавшемуся ларьку; если у тебя вот столько рублей, сколько ты загадал, сможешь купить булочку?
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 03 Июня 2018, 20:52:51
При таком подходе (как у меня с резистором) нужно дополнительно оговаривать доверительный интервал.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 04 Июня 2018, 11:32:53
Zatamon,
а если взять принципиально невычисляемую константу?

Если я найду (х-3)/7, это больше (или меньше) той вероятности, с которой произвольная программа зациклится от произвольных входных значений?
Что такое произвольная программа?
Вообще, о невозможности равномерного распределения на таких множествах даже оч красивый парадокс есть "задача о двух конвертах" называется в педивикии
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: ramon13 от 04 Июня 2018, 13:07:44
Максимум распределения можно сместить куда угодно, подправив преобразование. А вот константа Бруна, пощщитанная с использованием недоказанной пока гипотезы Римана, равна 1.9....
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 11 Сентября 2018, 06:45:44
Я знаю ответ в случае 3х3 и 4х4, 5х5, 6х6, 7х7 и не знаю ответа в случае 8х8 и более.
Для перекраски квадрата 5х5 нужно нажать на клетки, отмеченные числом 1, то нужно сделать 15 нажатий.
Вот они:
21
Николай, а знаете ли вы, что в случаях например 8 и 10 (и, навернео многих других, но не 9) ваша задача сводится к решению невырожденной системы линейных уравнений ?
То есть она всегда сводится к такой системе, я о том, что для случаев 8 и 10 (щас не поленился подменить константу, еще и 12 и 13) система невырожденная (а следовательно) с единственным решением
Для 10 первая строчка, по котрой кликнуть такая:
*_*____*_*
(остальные определяются ею)
Для 8 такая:
**____**
Для 12:
*_*______*_*
Для 13:
**_*_***_*_**
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 11 Сентября 2018, 08:31:11
Николай, ловите первые строчки до 25:
Там, где написано "вырождено" - там решение не единственное (или не существует, что, однако, вряд ли) - там лучше решение отдельно искать надо
Могу позже заняться скриптиком, который для таких лучшее решение поищет.
*
**
*_*
4 - Вырождено
5 - Вырождено
*_**_*
**_*_**
**____**
9 - Вырождено
*_*____*_*
11 - Вырождено
*_*______*_*
**_*_***_*_**
14 - Вырождено
*_**__*_*__**_*
16 - Вырождено
17 - Вырождено
**_*_***__***_*_**
19 - Вырождено
*_*__**********__*_*
*_*__****___****__*_*
**___*_**____**_*___**
23 - Вырождено
24 - Вырождено
**_*_**__*__*__*__**_*_**
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 11 Сентября 2018, 13:52:24
Вот уже скриптом, считающем лучшее решение
Для 21 и 22 я не стал считать - выше написано единственное и так 3 часа суммарно все считалось
Формат:
Сторона квадрата:число ходов:первая строчка
1:1:1
2:4:11
3:5:101
4:4:0100
5:15:11000
6:28:101101
7:33:1101011
8:40:11000011
9:25:001100100
10:44:1010000101
11:55:00100100000
12:72:101000000101
13:105:1101011101011
14:56:01010001001100
15:117:101100101001101
16:104:1100010010000101
17:147:11000010010011000
18:188:110101110011101011
19:141:0011101001000000100
20:224:10100111111111100101
21
22
23:231:10110101000100001100000
24:270:000101111111111111101000
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 12 Сентября 2018, 04:35:32
Ну и в общем на ночь ставил, заодно уточнив значения
21:245:101001111000111100101
22:276:1100010110000110100011
26-28 первые строчки
10100110100111100101100101
101100101001101100101001101
1011010100100110010010101101
у следующих двух система вырождена
Дальше или перписыать на более производительном языке с вниманием к производительности (а не абы как, абы на чем, на коленках, как я все это писал) или уже многими часами ждать ответ
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Philipp от 12 Сентября 2018, 11:04:57
Вы без Николая сами с собой разговариваете. Он, наверное, весь в 1 сентябре ещё. Напишите в личку или на Емейл ему, может отреагирует.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 26 Октября 2018, 22:22:47
Друзья, каюсь!
Не заглядывал сюда, а здесь столько интересного произошло!!!
Zatamon проделал большую работу и получил стоящие результаты! "Снимаю шляпу"!

Прошло более года после формулировки задачи! За это время утекло много воды!
На основе этой задачи написана статья в журнале "Математика" для учителей России. Все эти подзадачи уже решены, мне помог программист из Киева, я ему благадарен, что он откликнулся и проделал работу, похожую на работу Zatamonа. Интересно сравнить их результаты!
Думаю, что Zatamonу тоже будет интересно посмотреть эту статью. Могу выслать по эл. почте.
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 03 Декабря 2018, 22:07:41
Простенькая задача.

Из 72 плиток квадратного кафеля размером 33,3 *33,3см выложили квадрат. Найти площадь этого квадрата в м кв. с приближенной точность до 4 знака после запятой, если между кафельными плитками проложены крестики 2,5 мм.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 03 Декабря 2018, 22:36:31
Плитку можно резать?
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 04 Декабря 2018, 00:12:21
Можно.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 04 Декабря 2018, 07:27:24

Если разрезать 12 плиток по диагонали d, то можно сложить квадрат со стороной 6d без учета швов.
Пусть сторона плитки равна а, ширина шва равна b, тогда сторона плиточного квадрата равна 6(а+b)√2, его площадь равна 72(а+b)².
При а= 0,333 м, b=0,0025 получим площадь ≈8,1043 м².

Спасибо за утреннюю разминку мозгов, pytlivyj!
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 04 Декабря 2018, 16:59:52
 Ход мыслей правильный, но ответ неверный. Кроме того количество разрезанных плиток указано тоже неверно. Еще подумайте.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 04 Декабря 2018, 19:50:15
Ошибки не нашел! В подтверждение своих мыслей привожу картику!

(https://d.radikal.ru/d37/1812/a8/7a0267577edb.png) (https://radikal.ru)
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 04 Декабря 2018, 20:56:45
Ну, как вариант этот способ решения близок к истине, т. к. здесь не получается точного квадрата на углах (шовной затиркой углы обычно не делают, а, наоборот, скругляют).
Вот точное построение квадрата. Берем тетрадный лист в клетку, ставим точку в центре клетки. Проводим вправо и вниз отрезки длиной в 12 клеток и дополняем этот прямой угол до квадрата 12х12. Теперь в центре каждой стороны квадрата ставим точку и последовательно соединяем их во внутренний квадрат, который и есть искомый. Представив, что клетки - это кафельные плитки, а линии тетрадных клеток - межплиточные швы, считаем площадь как полупроизведение диагоналей квадрата. Получаем 8,0943 кв. м. В данном квадрате 10 плиток разрезано пополам по диагонали, а 11-я  - диагонально на 4 части. И углы в этом квадрате точные.   ;)
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 04 Декабря 2018, 22:56:28
Спорить не будем, возможно, Ваш квадрат лучше! В первую очередь целыми углами при вершине!
Название: Занимательная математика
Отправлено: pytlivyj от 05 Декабря 2018, 22:23:39
Ваша раскладка плиток навела на интересное наблюдение - если разрезать много квадратных плиток пополам по диагонали, то можно сложить квадрат из 100 таких треугольников (аналогично как и из 100 квадратов). Другими словами - можно сложить квадрат из 50 квадратиков, хотя в обычной жизни мы это делаем из 49 штук квадратиков!

P. S. Еще нашел - можно сложить квадрат из 16 треугольников (аналогично 16 квадратикам). Или квадрат из 8 квадратиков, хотя обычно это делаем из 9 штук.
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Николай от 05 Декабря 2018, 22:31:40
Интересные находки, согласен!
Название: Re: Занимательная математика
Отправлено: Zatamon от 06 Декабря 2018, 11:19:25
Пытливый:
Любые два многоугольника равной площади - равносоставлены. То есть любой многоугольник или любое конечной множество многоугольников можно разрезать на конечное число частей, из которых можно сложить квадрат
Несложное доказательство этой теоремы публиковалось в кванте давным давно