В номерах журналов «Наука и жизнь» 80-х годов ХХ века, посвящённых сборке кубика Рубика 3х3х3, при сборке узора «Шахматный куб» существовало 3 названия этих узоров:
1) Шахматный куб
2-го порядка;
2) Шахматный куб
3-го порядка;
3) Шахматный куб
6-го порядка.
В описании говорилось, что № порядка – это
кратность повторения прямого процесса сборки данного состояния куба, после которого куб вновь вернётся в исходное собранное состояние.
У меня всегда возникал вопрос, а где же остальные порядковые номера узоров «Шахматных кубов»? И сколько их существует всего? И я наконец-то решил провести собственное исследование данного вопроса.
Представим элементы кубика Рубика 3х3х3 в виде 3-х сфер, наложенных друг на друга:
1-я сфера –
«угловая», на которой лежат угловые элементы куба;
2-я сфера –
«рёберная», на которой лежат рёберные элементы куба;
3-я сфера –
«центральная», на которой лежат центральные элементы куба.
Становится очевидным, что при перемешивании и сборке кубика, элементы меняются местами подобно элементам игры «15», но только в объёме, каждый внутри своей сферы, согласно наименованию. Исключением здесь являются центральные элементы, жёстко связанные с шарниром вращения, и которые меняются местами только у кубов чётных высших порядков. Примем, что при сборке узоров «Шахматный куб» на кубе 3х3х3, 1-я и 3-я сферы совпадают друг с другом в пространстве. И эту общую сферу условно назовём
«центро-угловой».
1. Элементы центро-угловой сферы в шахматном узоре всегда расположены относительно друг друга точно как в полностью собранном кубе, и, соответственно, имеют чётко одно положение в пространстве –
ПРЯМОЕ;
2. Элементы рёберной сферы в шахматном узоре могут иметь
2 вида взаимного расположения в пространстве:
а)
ПРЯМОЕ – рёберные элементы расположены относительно друг друга точно как в полностью собранном кубе,
б)
ОБРАТНОЕ (или инвертированное) - рёберные элементы расположены относительно друг друга как в «вывернутом» полностью собранном кубе, чередование цветов граней которого – ОБРАТНОЕ.
«Обратный» собранный куб, как я уже писал ранее на форуме, легко получить следующим образом. Пусть куб пустотелый и сшит из цветных квадратных лоскутков ткани. Если теперь в любом месте этого тканевого куба проделать небольшое отверстие или надрез, вывернуть через него лоскутный куб, подобно выворачиванию пододеяльника после стирки, и привести к кубической пустотелой форме, то чередование цветов на нём будет ОБРАТНЫМ!
Так, прямым (европейским) чередованием цветов граней кубика Рубика 3х3х3, считают следующее (смотреть на куб со стороны угла):
белый, синий, красный (далее Б-С-К) – цвета триколора флага России сверху вниз – расположены
ПО ЧАСОВОЙ стрелке. При обратном чередовании (японском) - эти цвета будут расположены
ПРОТИВ ЧАСОВОЙ стрелки
(далее Б-К-С).
Ярким визуальным примером чередования цветов граней служит сборка Динокуба, который при максимально допустимом приближении «условно» состоит только из 12 элементов «рёберной» сферы кубика Рубика 3х3х3. При его сборке легко получить как ПРЯМОЙ, так и ОБРАТНЫЙ кубы!
Теперь начнём собирать
объёмные шахматные доски 3х3х3 на кубе, приняв, что центро-угловая сфера у нас стационарна,
а рёберная сфера сочетается с ней в пространстве, вращаясь по осям симметрии куба
ОТНОСИТЕЛЬНО СТАЦИОНАРНОЙ ЦЕНТРО-УГЛОВОЙ СФЕРЫ:
А также меняет взаимное расположение рёберных элементов в пространстве с ПРЯМОГО на ОБРАТНОЕ с помощью алгоритма
.
Сразу вычислим, сколько Шахматных досок 3х3х3 можно собрать. Если вращать ПРЯМУЮ рёберную сферу
относительно 1-й оси, то можно получить 3 сочетания этих сфер. Аналогично, вращая вокруг этой же оси ОБРАТНУЮ рёберную сферу, так же получим 3 сочетания этих сфер. Итого, проделав эти же процессы вокруг всех 8-ми углов куба, получим
48 шт. сочетаний сфер, следовательно,
48 шт. Шахматных досок 3х3х3.
1-й вид шахматной доски 3х3х3Она же является исходным состоянием полностью собранного куба.
Количество возможных аналогичных состояний на кубе - 1 шт.
Алгоритм сборки отсутствует.
2-й вид шахматной доски 3х3х3Она же является
Шахматным кубом 2-го порядка.
Количество возможных аналогичных состояний на кубе - 1 шт. Алгоритм сборки:
3-й вид шахматной доски 3х3х3Она же является
Шахматным кубом 3-го порядка.
Количество возможных аналогичных состояний на кубе - 8 шт. Алгоритм сборки:
4-й вид шахматной доски 3х3х3Она же является
Шахматным кубом 6-го порядка.
Количество возможных аналогичных состояний на кубе - 8 шт. Алгоритм сборки:
5-й вид шахматной доски 3х3х3Количество возможных аналогичных состояний на кубе - 3 шт. Алгоритм сборки:
6-й вид шахматной доски 3х3х3Количество возможных аналогичных состояний на кубе - 3 шт. Алгоритм сборки:
На этом физические возможности сборки пространственных Шахматных досок 3х3х3 на кубике Рубика 3х3х3 исчерпались. Но ведь мы собрали всего 24 сочетания сфер, а как же быть с остальными 24 шт. сочетаний? Здесь нам на помощь придут кубические головоломки, аналогичные кубику Рубика 3х3х3, но на которых возможен
Void-паритет. Для простоты я взял
3х3х3 MixUp Plus Cube и заведомо собрал вышеуказанный
Void-паритет:
Теперь можно дальше продолжать исследования Шахматной доски 3х3х3.
7-й вид шахматной доски 3х3х3Количество возможных аналогичных состояний на кубе - 6 шт. Алгоритм сборки:
8-й вид шахматной доски 3х3х3Количество возможных аналогичных состояний на кубе - 6 шт. Алгоритм сборки:
9-й вид шахматной доски 3х3х3Количество возможных аналогичных состояний на кубе - 6 шт. Алгоритм сборки:
10-й вид шахматной доски 3х3х3Количество возможных аналогичных состояний на кубе - 6 шт. Алгоритм сборки:
Вот все 48 шт. Шахматных досок 3х3х3 и получены! И всего можно собрать
10 видов узоров «Шахматных кубов»! Сведём теперь полученные результаты в таблицу:
Всем удачной сборки!
