Далее переходим самым интересным и разнообразным головоломкам, в основе которых оси с 3-х мерным расположением. Тут уже стоит обратить на один важный признак расположения осей как симметричность. Абсолютно симметричных вариантов расположения осей существует не много и следует из существующих вариантов правильных многогранников или скорее наоборот. Симметричность для осей вращения определяется равными углами каждой оси со всеми соседними и почти всегда такая ось является продолжением другой, проходя через центр пересечения. Одно исключение есть при четырёх осях как у пирамидки. У классической пирамидки вращение происходит через центр с одной стороны вершиной, а с другой гранью и таким образом она имеет 8 осей вращения. Если мы создадим головоломку на базе этой-же пирамидальной форме только по четырём осям у нас получится пирамидка только из вершинок, то есть также ничтожна в решении, как и головоломки с одной или по-нашему двумя осями в виде примеров кубоидов 1х1х2, 1х1х3. Следующая цифра 5 осей и такие головоломки есть, но 5 осей расположить симметрично не возможно. Головоломок с несимметричным расположением осей немало, но обсудим их позже.
6 осей – как правило кубы и кубоиды с размерностью от 2х2х2 и далее
8 осей – например пирамидки и сквебы
12 осей – например мегаминкс с осями вращения проходящими через центры граней додекаэдра. Кстати, известная головоломка Доджик имеющий в корне своего названия додекаэдр таковым не является. Он является двойственным многогранником к нему, и его форма называется икосаэдр.
20 осей – додекаэдр в котором оси сходятся к центру от его вершин.
30 осей – додекаэдр в котором оси сходятся к центру из середин рёбер.
И это все симметричные варианты пересекающихся осей. Понятно, что при помощи симметричных осей можно создать наиболее интересные и красивые симметричные головоломки и максимальное количество осей пригодно на грани для нормального использования головоломки.
До продолжения обсуждения головоломок с несимметричным расположением трёхмерных осей, стоит отвлечься и рассмотреть второй важный признак головоломок количество подвижных слоёв. В комбинации с осями вращения он почти полностью описывает функциональность головоломки.
Тут мы вспоминаем описанное выше противоречие правила подсчёта осей и слоёв для головоломок с плоским расположением пересекающихся осей. Для шести и восьми осевых головоломок это тоже актуально.
Количество осей для всех кубов с шестью вращающимися гранями одинаково и их можно посчитать как 3 взаимно пересекающиеся и как 6 независимых, исходящих из центра и это становится принципиально, когда мы начинаем считать слои на каждой из осей. Если считать, что осей 3, то для куба 2х2х2 слоёв -2, для 3х3х3 -3, для 4х4х4 -4, для 5х5х5 -5 и вполне соответствует общепринятым обозначениям. Но мы не случайно начали считать оси по-другому от центра и если их считать как 6 логичней и слои считать на каждой из этих шести. Тем более, что существуют головоломки с разным количеством подвижных слоёв от центра вращения и это надо научиться описывать. При таком методе подсчёта количества слоёв формула описания для кубов буде такой для двушки 1х1х1х1х1х1, трёшки 1х1х1х1х1х1 и не понятно куда писать центр или половинки писать типа 1,5х1,5х1,5х1,5х1,5х1,5. В общем, ерунда какая-то малоинформативная и не привычная получается. С увеличением размерности описываемых головоломок и у кубоидов абсурдность не пропадает.
Так давайте выделим принцип подсчёта слоёв для головоломок с 6 осями (кубов) и продолжим их считать и обозначать, как привыкли, а в других случаях или у кубоидов у которых разное количество от центра вращения слоёв обозначать по каждой из шести осей.
Собственно это и неважно как мы будем считать слои, достаточно того, что при одинаковой конструкции осей мы всегда можем определить иерархию головоломки по количеству слоёв. Для 12 и более осей, почти всегда имеющих неподвижный центр, наглядней считать по каждой из осей без учёта центра.
Очень интересная тема.
К вопросу про слои это вообще не однозначная тема.
По моим соображениям, многослойные головоломки нужно разделять на истинно многослойные, и на псевдомногослойные, где слои образуются за счет пересечения разрезов.
Для базовых Кубик-рубик подобных пазлов принцип образования един - берется Платоново тело и в зависимости от того, какого типа это будет пазл - Face Turning или Corner Turning мы от каждой стороны или каждого угла делаем секущий разрез от грани или угла на определенном расстоянии.
На каком расстоянии делается разрез, от этого и зависит формирование элементов
Кубик рубика 3x3 - один разрез от каждой грани на глубину 33%. Псевдомногослойный.
Кубик 2x2 - один разрез от каждой грани на глубину 50% глубины.
Кубик 4x4 - по 2 разреза от каждой грани через 25% глубины
Кубик 5x5 - по 2 разреза от каждой грани через 20% глубины, средний слой как и в 3x3 относится к базовым.
Регулируя глубину сечения мы и получаем разные головоломки.
Пирамидка - как бы многослойная, посекли 2 раза через 33%, правда уголки получились тривиальными, пирамидка и так исключение - одновременно и Face Turning и Corner Turning.
Jings Piraminxs - отсекли от грани один раз на глубину 25% и образовались центра на гранях из-за пересечений.
Corner First кубы:
Dino Куб - от угла разрезали на 33% до противоположного угла и разрезали близлежайшие углы. Средний слой есть, бесполезный.
Skewb - от угла разрезали на 50% до противоположного угла, в итоге оказался за углами и соседними осями вращения. Deep cutting.
Master Skewb - отличается от скьюба тем что разрез от каждого угла уменьшили на среднее между 50% и 33%, в итоге и элементы Dino Куба и элементы Skewb и еще дополнительные элементы образовались.
Rex Cube/Super Ivy - тот же Master Skewb, но разрез не плоскость, а изогнутая поверхность, чтобы поверхность прошла по углам и пропали скьюб-углы.
Родственные октаэдры:
FTO - псевдомногослойный - один разрез на 33% глубины. По элементам - роственник Rex Cube.
Skewb Diamond - один разрез на 50% глубины. Родственник скьюба.
Додекаэдры:
Мегаминкс - один разрез малой глубины.
Piraminx Crystal - более глубокий разрез до центров
Starminx - еще более глубокий разрез до соседних углов
Киломинкс и четные мегаминксы - прямые разрезы нормально не сделать, поэтому и крутятся плохо.
Хорошая гифка по додекаэдрам есть (не понял как выложить пока),такую же по 8-осевым неплохо бы.
4 мерные пазлы формируются по аналогичным принципам, только с учетом своих особенностей геометрии.
