Мнемо-схема сборки любого Куба (2*2,3*3 и т.д.) с 1 базовой формулой

[grigr]

тк появился живой интерес к данной теме, то решил оживить свою старую статью
источник тут: http://old.playlab.ru/forum/viewtopic.php?t=392
------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Хочу рассказать о своем методе сборки любого кубика (2-7,...) с помощью только ОДНОЙ формулы (правда сам когда собираю пользуюсь для ускорения процесса еще несколькими алгоритмами).
Когдато в детстве прочитал что какой-то математик собирал кубик 3*3 с помощью всего лишь 1-2 тривиальных формул, но делал он это за несколько часов, меня тогда еще зацепило ...
сейчас я 4*4 собираю этим методом мин за 15, 7*7 за пару часов.
(наверное ничего нового я не придумал, но почемуто нигде больше подобного подхода не видел, может мало искал)

Несколько базовых понятий:
1. я подразумеваю что вы уже знакомы со сборкой кубика, и у вас уже есть какой-то любимый подход,
2. я человек не ученый, доморощенный, возможно что нового ничего не открываю, изобретая велосипеды, к тому же использую какуюто свою терминологию, если что просветите меня пожалуйста.
3. Обозначение граней: F,U,L,R,D,B. Средних слоев: f,u,r и т.п. Элементов: FRU, RU и т.п.
4. картинки рисовать не буду (нет времени), хотя было бы нагляднее ;( , можно интуитивно после тренировки понять логику передвижения кубиков, и помня только формулу, быстро в уме восстанавливая схему перемещения кубиков.

Основная формула для сборки кубика в общем виде - упорядочивания любых элементов: FR'F'L FRF'L'
(если честно я и саму формулу то не помню, в разное время по разному ее восстанавливаю, тут нужно понять откуда она появляются и почему переставляет кубики по 3-циклу, позже покажу откуда она появляется)
или FR'F'L2 FRF'L2, в некоторых случаях можно использовать только второй вариант. другие варианты: FRF'L FR'F'L', FR'F'L' FRF'L и т.п.
1. в этом виде формула провернет по циклу 3 угловых кубика - FR'F'L FRF'L'
2. что бы получить 3-циклы для ребер заменим вращение одной грани на вращение среднего слоя - Fr'F'L FrF'L' или fR'f'L fRf'L' или FR'F'l FRF'l'
3. что бы получить 3-цикл для центральных элементов (для кубов от 4*4) заменим вращение двух граней на вращение средних слоёв - fr'f'L frf'L' (обратите внимание что тут перемещается 3 элемента а не 2
как может показаться). Для 5*5, 7*7 и т.д. один из слоев не должен быть центральным.
4. можно работать и с центральными кубиками: если затрагивать центральный слой - fr'f'L frf'L' или fr'f'l frf'l' - где r,f,l все центральные слои. тут первая формула крутит 2 кубика на местах, а вторая дает 2 трицикла.
5. Обратные алгоритмы получаются если последнее вращение поставить вперед: L'FR'F' LFRF' и т.п.
6. Возможно нужно будет использовать обратные алгоритмы для ускорения работы и зеркальные (F<->F', R<->L'), а так же ротацию алгоритма т.е. перестановка последнего движения в начало: L' FR'F'L FRF' и т.п.
7. Иногда можно для ускорения работы на этапе R захватывать сразу несколько слоев: например для 4*4 - F(rR)'F'L F(rR)F'L', F(lr')F'L2 F(l'r)F'L2 можно захватывать и по 3 слоя и т.д.

Ориентация элементов стоящих на своих местах: можно стараться сразу все ставить правильно.
1. Используем ту же формулу только дважды, один трицикл по часовой стрелке второй против часовой:
вращение 2 ребер: U (FuF'U Fu'F'U') U' + R (RDrD' R'Dr'D') R' - (18 поворотов)
вращение 2 углов: (FR'F'L FRF'L') + F (BLF'L' B'LFL') F' - (18 поворотов)
немножко мутноватый этап, но если к концу сборки эта ситуация возникнет 1-2 раза то сойдет.
(хотя я помню простые схемы и этими редко пользуюсь, только когда память подведет)

Разрешение паритетов: т.к. Паритеты возникают из-за одного лишнего поворота на 90 градусов, следовательно паритет угловых кубиков устраняем 1 поворотом грани, а реберных кубиков 1 поворотом соответствующего среднего слоя на 90 градусов, а затем с помощью трициклов возвращаем на свои места сдвинутые кубики.
(логику их возникновения объясню чуть позже)

[grigr]

(некоторые соображения, возможно я гдето ошибаюсь, неполон или не точен - поправьте меня пожалуйста)

Немного теории. (кстати это все подходит и ко многим другим аналогичным головоломкам)
1. Единственный базовый алгоритм - это так называемый 3-цикл (циклическое перемещение трех кубиков-элементов по кругу), на его основе, т.е. его комбинациями можно получить другие схемы. например с помощью двух 3-циклов: перестановка 2 пар кубиков (FRU<->BRU,FLU<->BLU или FRU<->BLU,FLU<->BRU), циклическое вращение 5 кубиков и т.д. Можно так подобрать два 3-цикла, с начала прямой, а затем обратный, что кубики встанут на места, но 2 будут дезориентированны, т.е. получим формулу вращения кубиков на своих местах.
2.1. Паритеты возникают из-за одного лишнего поворота, попробую объяснить. С помощью алгоритма 3-цика невозможно упорядочить следующие комбинации: перестановка 2 кубиков, циклическое вращение 4,6 кубиков и т.д. а так же вращение на месте 1 элемента. Так же как возникли так же и лечим, если перестановка 2 углов, то
делаем 1 поворот любой грани (лучше той где эти 2 элемента) на 90 градусов, если 2 ребер, то 1 поворот среднего слоя на 90 градусов. Вращение центрального элемента у 3*3 в одиночном виде только на 180 градусов, вот и устраняем одним поворотом на 180 град, а затем восстанавливаем сдвинутые углы и ребра. Обращу внимание что ситуация: 4 угла сдвинуты по кругу + 2 угла переставлены местами (либо другие элементы, но обязательно одинаковые), не приводит к паритету, как 6 сдвинутых по кругу (почему подумайте сами).
2.2. Что бы узнать есть ли у головоломки ситуации с паритетами достаточно сделать 1 поворот грани и/или среднего слоя (сначала а 90, затем на 180 градусов и т.д.). А дальше смотрим на его элементы, думаем можем ли мы их вернуть назад с помощью 3-циклов. Например: для 2*2 кубика сдвинутся по циклу 4 угла, если попробовать применить 3-цикл, то только 2 элемента встанут на свои места, т.е. тут возможен паритет; для поворота на 180 град, имеем крестовую перестановку, которая легко устраняется 2 трициклами.
у 3*3 поврото на 180 градусов так же легко разрешим, т.к. приводит к 2 крестам у ребер и углов. а вот поворот на 90 градусов, приводит к псевдо паритету: 2 угла и 2 ребра (ее развитие 4 угла по кругу и 2 ребра, замечу что ситуации 2 угла по кресту и 2 ребра на 3*3 не возможна), который так же не разрешим с помощью трициклов. у 3*3 при повроте среднего слоя на 180 град, перемещается 4 ребра и центра по кресту - это легко разрешимо, а вот при повороте 90град 4 ребра сдвигаются по кругу - это бы привело к паритету, но при этом не правильно сдвигаются и центры (типичная ситуация для Void-Cube, изза которой у него и возникают все паритеты). У 4*4 и более все аналогично, повороты на 180 град рассматривать не будем ничего нового они нам уже не покажут, поворот грани на 90 град сдвигает по кругу 4 угла и 2 пары по 4 ребер, а так же 4 центра, углы пришли в паритетную ситуцию, а вот ребра нет, потому что один круг из 4 элементов не разрешим, а вот 2 таких круга легко разрешимы, центры же так же портятся но только в том случае если кубик имеет ориентированые меченые центры, иначе паритет на них не заметен. т.е. поворот грани на 90 град дает нам на кубах 2*2, 4*4 и т.д паритет углов. Рассмотрим поворот среднего слоя на 90 град: имеем 1 круг
из 4 ребер, и 2 круга из центров по 4 элемента, центры расставятся на свои места без паритетов, а вот ребра нет, т.е. на кубах от 4*4 поворот любого среднего слоя (для кубов 5*5, 7*7, не центрального, у них он аналогичен 3*3) приводит к паритету 2 реберных элементов (реберный флип у 4*4 - это всего лишь переставленные местами 2 реберных элемента, обратим внимание на то что у кубов более 4*4 ребра движутся по специфичным траекториям, и могут правильно встать только на свое место, иначе они быду перевернуты).
Кстати у MegaMinx нет паритетов, потому что при повороте 1 грани сдвигаются по кругу по 5 элементов, а это очен легко разрешимая комбинация (по два 3-цикла).
2.3. группы из паритетов, очевидно что можно сделать 1 поврот грани и среднего слоя, тогда у нас будет двойной паритет из ребер и углов. у 6*6, 7*7 и т.д. возможны независимык паритеты на 2 и 3 слое.
3. Не все элементы (как углы и ребра у 3*3) движутся по таким законам, что их можно упорядочивать с помощью 3-циклов, например центральные элементы у 3*3 (это не относится к центрам 4*4 и более), не буду акцентировать на них сильно внимание, обычно такие элементы упорядочиваю в 1 очередь и от них отталкиваются, и их алгоритмы очень просты (все это для специфичных головоломок). Если мы начинаем собирать 3*3 с центров, то они для нас фактически не подвижны, только могут вращаться вокруг осей. (3 вида движений относительно других элементов, 1. 4 центра сдвинуты по кругу на 90 град, 2. 4 центра сдвинуты на 180 град - крестовая перестановка, 3. 6 центров сдвинуты как бы 2 трициклами. Заметим что только 1 комбинация портит нам кубик, т.е. нет для нее чистого алгоритма, и приводит к паритету ребер)
4. Четность формул. В основном все типовые формулы четны, все формулы для устранения паритетов не четны. Поясню: вот пара формул для 3*3 - 1. P'F'L'FPF'LF , 2. . Если формула четная, то сколько раз одна отдельная грань или средний слой повернутся по часовой стрелке, то столько же раз и против часовой стрелке, либо она повернется в одном направлении 4 раза (для кубов 4, для MegaMinx будет 5 раз). т.е. разложим 1 формулу: P'P, F'F F'F, L'L, 2 формулу: PP' PP' F'F F'F D2D2 U2U2, отсюда видно что данная формула никак не приведет к паритету, и соответственно его не разрешит. Однако формулы для устранения паритета на 4*4: 1. (R2 u)*5 R2, 2. r' U2 l F2 l' F2 r2 U2 r U2 r' U2 F2 r2 F2 если их разложить: 1. R2R2 R2R2 R2R2,
uuuu u, 2. r' r2r2 rr' ll' U2U2 U2U2 F2F2 F2F2, видно что в первом варианте остается одиночное u, а во втором r котороые и влияют на паритет реберного элемента. Если рассмотреть другие формулы псевдо паритета для 4*4 (паритетная ситуация в образной системе 3*3, но разрешимые на 4*4 с помощью двух 3-циклов). Формулы
1. (Uu)2 (Rr)2 U2 r2 U2 (Rr)2 (Uu)2, 2. r2 U2 r2 (Uu)2 r2 u2, разложим их: 1. U2U2 U2U2 u2u2 R2R2 r2r2 r2, 2. r2r2 r2 U2U2 u2u2, видно что в них остается только r2, но это движение не приводит к паритету, а всего лишь к крестовой перестановке 4 реберных кубиков. ИСключение здесь не кратные формулы, например для 2*2 формула RL' не приводит к паритету а поворачивает кубик, т.к. одно вращение можно заменить другим, так же и подмена вращений средних слоев, поворотами граней.

[Леннон]

Да, читал 

Отмечу, что для сборки 3*3*3, применял (хотя и гораздо позднее - всего-то год назад), всего одну такую формулу как: L U' R' U L' U' R и перехваты.
По смыслу, это в общем-то алгоритм, "родственный" алгоритму F R' F' L F R F' L'.
Тоже трицикл (если использовать несколько иной вариант - L U' R' U L' U' R U), тоже воздействует на три угла, но чуть иначе.
L U' R' U L' U' R U, также можно видоизменять, например, вместо R/R' внося R2-ходы.
L U' R2 U L' U' R2 U - воздействует также на три угла, но чуть иначе, чем L U' R' U L' U' R U.

Если же отнять один поворот U, то остаток L U' R' U L' U' R, будет иметь качественно иные свойства - он смещает рёбра, смещает и переворачивает уголки (отнимите электрон от хлор-аниона, получим в результате уже не ион, а атомарный хлор, обладающий иными свойствами).

И как оказалось, это только "цветочки". Немного теории:

L U' R' U L' U' R * 3 = U (в кубе!).
L U' R' U L' U' R * 3 = U2 (в мегаминксе!!!).

Т.е. выходит, что одной и той же формулой, возможно собрать как куб, так и мегаминкс.

Это тоже не всё....

L l U' u' R' r' U u L' l' U' u' R r * 3 = U u (в 4*4*4/5*5*5/6*6*6....-кубе).
L l U' u' R' r' U u L' l' U' u' R r * 3 = U2 u2 (в гигаминксе/тераминксе).

Конструкция, для сдвижения внутреннего слоя:

L l U' u' R' r' U u L' l' U' u' R r * 3 + L U' R' U L' U' R * 9 = u (в кубе 4*4*4).

L l U' u' R' r' U u L' l' U' u' R r * 3 + L U' R' U L' U' R * 12 = u2 (в гигаминксе!!!!).

Раз фактически одна и та же формула, может "скопировать" любой даже самый простой поворот грани, то её становится теоретически достаточно, для сборки всего семейства кубов, и семейства мегаминксов, достаточно одной формулы.
Хотя на деле, проще конечно действовать не таким чистым методом, а вносить некоторые модификации, как в случае F R' F' L F R F' L'

[grigr]

Подчеркну, я этим способом решал(решаю) все Кубы и Кубоиды, да и вообще практически все твисти головоломки.
За исключением хитрых головоломок (латч, бандаж и тп)

[Леннон]

Неплохо 
Удавалось получать разные эффекты, за счёт комбинаций на основе F R' F' L F R F' L' - от перестановки трёх уголков, с сохранением ориентировки, относительно верхней грани, до разворота пары уголков.
В бандажах сборка менее предсказуемая, но иногда тоже можно применять F R' F' L F R F' L', или L U' R' U L' U' R U (если быть точнее, то из-за блокирования некоторых граней, чаще на первый план выходит, ещё один алгоритм - R U R' U R U2 R', он погрубее, но зато для вращения требует всего двух граней) - самый простой пример, Dia-4-куб.

[Леннон]

Для некоторых усложнённых модификаций 3*3*3, тоже достаточно по сути одного алгоритма + всевозможные вспомогательные хитрости (коммутаторы и т.д.).

Crazy 3*3*3 Mercury cube - R' U' L U R U' L' U.

Комбинация для разворота пары уголков, без вставок (DBL + DBR) - R' U' L U R U' L' U + B' + L U R' U' L' U R U' + B.

Аналогично, для Latch-cube.