Математика перестановочных головоломок

[ramon13]

Думаю, "мощность" множества всех поликоммутаторов не превосходит таковую для обычных коммутаторов, ничего принципиально нового они делать не позволяют. Но преобразование кубика - это всего лишь абстрактная переклейка наклеек или абстрактное выдергивание маленьких кубиков плоскогубцами. А в реальной жизни кубер головоломку вертит, и имеет дело с ходами и поворотами. Поэтому ему не все равно, как свои ходы запоминать, систематизировать и исполнять.

Не до конца скомпенсированные поликоммутаторы, которые в строгом смысле ими не являются, часто дают красивые и легкие формулы для паритетов и остаточных поворотов.

Вырожденный случай поликоммутатора, одиночная циклическая формула, позволяет извлекать из себя корни, в том числе иррациональные, давая интересные результаты.

Например, из (U R)15 можно извлечь квадратный корень и получить (U R)7.5 , что дает паритет куба 2х2.

[ramon13]

Zatamon,

я пытаюсь разлагать поликоммутаторы на обычные коммутаторы

Для

 A^a1 B^b1 A^a2 B^b2

получаем

 A^a1 B^b1 A^(-a1) B^(-b1) = [A^a1, B^b1] - то есть обычный коммутатор.

Для

 A^a1 B^b1 C^c1 A^a2 B^b2 C^c2

получаем

 [A^a1, B^b1 C^c1] [B^b1, C^c1] - разложилось на два коммутатора.

Для

 A^a1 B^b1 С^c1  A^a2 B^b2 С^c2  A^a3 B^b3 С^c3

можно записать 

 A^a1 B^b1 С^c1  A^a2 B^b2 С^c2  A^(-a1-a2) B^(-b1-b2) С^(-c1-c2)

Дальше не знаю что делать...((

 

[Zatamon]

Ну я же в личке написал, как 3 последние переставить
Вот по этому алгоритму как раз можно в последнем случае с каждым таким переставлением сокращать количество множителей

[Zatamon]

A^a1 B^b1 С^c1  A^a2 B^b2 С^c2  A^(-a1-a2) B^(-b1-b2) С^(-c1-c2)

Дальше не знаю что делать...((

Вот, востсановил свое на бумажке, быстро попробую ,пора уже на электричку бежать
Есди это справа умножить на [C^(c1+c2),(A^(-a1-a2) B^(-b1-b2))^-1] то хвос изменится и перд хвостом будут последовательно
С^c2 С^(-c1-c2) что объединится в C^(-c1) и число множителей уменьшится. потмо аналогично уменьшаем за счет B итд

[ramon13]

А полное решение до окончательного результата можно?

[Zatamon]

А полное решение до окончательного результата можно?

а.. зачем?
Я об том, что если мы молжем поликоммутатор умножением на коммутаторы превратить в единичку, то этот поликоммутатор можно составить из произведения коммутаторов
Итак, тут имеем (стпеени влом преписывать, поэтому без степеней буду, псто когда 2 одинаковых появится я их в один превращу)
abcabcabc
как я уже сказал, последние 3 всегда можно поменять Xabc->Xcab Поэтому
abcabcabc->abcabcсab(->abcabcab)->abcabbca(->abcabca)->abcaabc(->abcabc)->abccab
и тут замечаем, что средние последние c оббединились. Поянтное дело,что в единичку, то есть исчезли

[ramon13]

Теперь идея понятна. Она заключается в циклической перестановке сомножителей поликоммутатора путем его умножения на коммутаторы так, чтобы одинаковые генераторы группировались вместе.

Новая упрощенная нотация для такого случая:

A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3, умножаем справа на коммутатор [C3' B3' A3' C2' B2' A2', C1' B1'], получаем
A1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 B1 C1. Умножаем справа на коммутатор [C1' B1' C3' B3' A3', C2' B2'], получаем
A1 A2 A3 B3 C3 B1 C1 B2 C2.

Далее аналогично:
A1 A2 A3 B3 B1 C1 B2 C2 C3
A1 A2 A3 B3 B1 B2 C2 C3 C1

Последнее выражение равно единице, так как все одинаковые генераторы стоят рядышком:
A1 A2 A3 = 1
B3 B1 B2 = 1
C2 C3 C1 = 1

Пользуясь этим алгоритмом, можно любой поликоммутатор разложить на произведение обычных коммутаторов. Это не может не радовать, так как показывет, что термин "поликоммутатор" не такой уж и бессмысленный.

[ramon13]

Какой классный поликоммутатор (с добавкой лишнего хода) для решения паритета mixup куба я сегодня переизобрел!!!

(r+ [R, U'] r+ [U', R])4 r+

Интересно наблюдать его работу по пересборке куба.

[ramon13]

Zatamon,

придумайте плиз название для такой конструкции (угловые скобки тут условны):

<A, B, C> = A B A' C B C'

Кстати, обратная операция для этой штуки действует только на средний элемент, остальные переставляет:

<A, B, C>' = <C, B', A>

[Zatamon]

Zatamon,

придумайте плиз название для такой конструкции (угловые скобки тут условны):

<A, B, C> = A B A' C B C'

Я названия не придумываю. Не моё. Но каждая из половинок этого, вот такая
A B A'
или такая
C B C'
Называется не то конъюгатор, не то сопряженное, не то как-то похоже

ЗЫ. Говорят, на языке вероятного противника это Conjugates
А по русски вроде как сопряжение

ЗЗЫ. Нагуглил Пункт 1.5 тута https://mipt.ru/diht/students/courses/group_theory.pdf

[ramon13]

Все правильно, но как быть с конструкцией целиком?

Если ввести 1 как ничего не делание, то можно описать и такие штуки:
<1, B, C> = B C B C'