Задачи с кубиком Рубика

[Isaev]

Да, в случае с R U2 D' B D' * 1260 всё оказалось так.

Присутствуют две цепочки перемещений - 5 уголков и 7 ребер. Это 5*7.
Также присутствует разворот и перемещение тройки уголков - это девятка.
И перестановка пары ребер, в сочетании с разворотом - это ещё 4.
Итого - 1260.

Насчёт того, что написано в вики. Группы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 90, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 132, 140, 144, 154, 165, 168, 180, 198, 210, 231, 240, 252, 280, 315, 330, 336, 360, 420, 462, 495, 504, 630, 720, 840, 990, 1260.
1 - последовательность действий без итогового результата.  Возвращение кубика в исходное положение.
2, 3, 4... - двуциклы, трициклы, тетрациклы...
Допустим, при  действии, возникает цепочка в 11 кубиков (реберные), и 7 (угловые). Дополнительно возможны развороты ребер и уголков - 2 * 3. Итого получается кратность - 11*7*2*3 = 462.
Большая кратность, допустим 1386 - невозможна, ибо развороты есть, цепочки 7 и 11 есть, а взять ещё одну цепочку из 3 кубиков уже неоткуда.
990 - тут присутствует цепочка из 11 кубиков (рёбра), также есть цепочка из 5 кубиков (уголки), Цепочка из 3 кубиков (угловые), и развороты (реберных + угловые) - 2 * 3.
Итого - 5*11*3*2*3 = 990.
То же самое но без цепочки из 3х элементов - 330-кратный цикл.
Если присутствуют две цепочки одинаковой длины - 5 и 5, 7 и 7, 8 и 8, то цикл будет соответственно кратен только 5, 7, 8, но не 25, 49, 64.
Нет циклов, например 13-кратного, 17, 19... потому что в кубике просто не может образоваться цепочек подобной длины, из-за ограниченного количества кубиков одного типа. (а вот в мегаминксе кубиков побольше, и 13, 17, или 19-кратный цикл очень даже возможен!).

А как посчитать какое минимальное число ходов должна иметь формула N-ного порядка?

Сделал небольшую проверку: 13, 17-циклы и им подобные, действительно возможны в мегаминксе.

Примерчик вспомнишь?

[Леннон]

Первое не ясно.
Разве что совсем простые примеры.

Простейший тетрацикл - 1 поворот, R
Простейщий двуцикл - 1 поворот, R2

Простейший трицикл - (предположение, 4 хода - коммутатор).

В условиях мегаминкса кстати будет уже по другому.


Насчёт 13, 17 - циклов в мегаминксе.

Например, действие из 3 поворотов - (L F R) - 13-кратный цикл. Так как там в процессе участвуют 13 ребер, и все 13 входят в одну цепочку.
Также в процессе участвует 11 уголков, однако только девять в цепочке. Поэтому действие (L F R) является дополнительно 9-циклом.
Ещё там присутствуют развороты уголков, умножающие общую цикличность ещё втрое.
По крайней мере, (L F R) является 351-циклом. 3*9*13

[Zatamon]

Это все про обычный кубик-рубика? тогда тут много ошибок....

Большая кратность, допустим 1386 - невозможна, ибо развороты есть, цепочки 7 и 11 есть, а взять ещё одну цепочку из 3 кубиков уже неоткуда.

Надо помнить, что считаь надо не кубиками, а стикерами. Цепочка длина 3 - это поворот на месте углового кубика

Нет циклов, например 13-кратного, 17, 19... потому что в кубике просто не может образоваться цепочек подобной длины, из-за ограниченного количества кубиков одного типа. (а вот в мегаминксе кубиков побольше, и 13, 17, или 19-кратный цикл очень даже возможен!).

Опять же счиать надо стикерами. А их столько есть
На самом деле формул порядка 13 у кубика рубика и правда не может быть. Это.. теорема такая в теории групп есть. Смысл в том, что порядок любой формулы обязан нацело делить число состояний кубика рубика А число его состояний на 13 не делится
(порядок - это минимальное необходимое число применений этой формулы от собранного до снова собранного)
Краткое доказательство такое: Назовем 2 позиции в кубике рубика эквивалентными, если от одной можно прийти к другой за какое-то число применений этой формулы. Дальше можно несложно проверить, что это 1. отношение эквивалентности, а следовательно все позиции разбиваются на классы эквивалентности 2. Число позиций в каждом классе эквивалентности равно порядку этой формулы

[Zatamon]

РОЖДЕСТВЕНСКАЯ ЗАДАЧА (Небольшое отступление от темы).

В африканской саванне находится небольшое озеро, подпитываемое родниками. Местные обитатели саванны ходят туда на водопой. Стадо слонов в количестве 183 особи может выпить это озеро всего за 1 день. Стадо слонов из 37 особей выпьет это озеро за 5 дней. А может ли 1 слон выпить это озерцо? Если сможет, то за какое время?

А давайте без уравняшек
Пусть у нас есть 5 стадов по 37 слонов и пьют они 5 озер 5 дней до исчерпания
5*37=370/2=185
Разобьем эти 185 на 183+2
Получаем, что 183 пьют поочереди каждое озеро, а двое выпивают дневное пополнение остальных четырех озер
Получается, что полслона тратим на дневное пополнение одного озера, а остальные опустошают?

[ramon13]

Система уравнений дает, что один слон

[Леннон]

Я не математик. Совсем.
Что я делал? Просто проделывал на кубе какой-нибудь цикл, и пытался по своему разобраться, что происходит, и почему в итоге получается именно такая периодичность, а не другая..
И так как что-то пытался решать, то привык видеть куб и прочие подобные варианты, именно как конструкции из "кубиков" (на которые может быть наклеено всякое, либо ничего).
Отсюда собственно и пошла та самая ошибка считать кубики, а не стикеры.

Пример:
Цикл F R U * 80

Наблюдения:

1) некоторые из углов возвращаются на место после пятикратного применения... они сдвигаются явно по целой цепочке. Первый на место второго, и тд. И их именно пять.
И по возвращению видно, что лишних разворотов они не приобрели.
2) Одновременно с этим сдвигаются ещё два угла - то меняются местами, то возвращаются на место. Опять же не приобретая лишних разворотов. Это добавляет двукратность.
3) одно ребро переворачивается - двукратность.
4) наблюдается ещё один "хоровод" - сразу восемь ребер. Причём по возвращению на свои места, оказывается так, что они ещё и перевернулись. Чтобы они встали на свои места правильно, нужно проделать действие вовсе 16 раз.

Выводы:

1) Поскольку есть пункт 1, и пункт 4, то всё это должно возвращаться в собранное состояние далеко не сразу... п1 даёт пятикратность, а п4 - шестнадцатикратность.
Значит общая кратность будет не меньше 80.
2) пункты 2 и 3 работают синхронно. Они могли бы увеличить итоговую кратность до 10. Но это уже не имеет значения, т.к. кратность итак повышена, до 80.
Просто пока хоровод из восьми ребер вернется на исходное, одинокое ребро успеет 16 раз перевернуться, а углы 16 раз поменяются местами, что в итоге не даст никаких изменений.

Другой пример.
Например углы 1,2,3 смещаются по цепочке - это уже трицикл.
Также разворачивается угол 4, а ещё один разворот гуляет по первым трём углам.
В итоге, после трехкратного применения действия углы 1,2,3 возвращаются на место, но приобретают дополнительные развороты - значит трехкратного применения недостаточно, гарантировано они вернутся в исходное состояние только при девятикратном применении формулы.

Считать по стикерам наверное правильно, только не факт что я это умею делать.

[ramon13]

А зачем считать стикеры? Можно считать только кубики и их разворот. Правда, не так просто понять, что делает с разворотом ребер и углов один ход, например R.

[Isaev]

Потому, что стикерами более однозначно описывается конфигурация, там нам достаточно учитывать только положение и не обращать внимание на развороты.
При попытке уйти от стикеров к кибикам возникают непредвиденные непонятки с разворотами.
Сталкивался уже ТУТ, например, можно почитать.

Потому и берут именно стикеры, чтобы описывать группы кубика.

[ramon13]

Не верю. Все однозначно описывается кубиками и их разворотом.

[Isaev]

так почитай по ссылке внимательно и объясни три варианта в "Информации к размышлению"...
Куда теряется информация о повороте?

[Леннон]

А если наклейками (стикерами)...
Допустим вращается просто R.
Можно выбрать любую из движущихся наклеек, и посмотреть в скольких местах она успевает побывать.
Таких мест всего 4.
Берём другую наклейку - тоже 4.
Т.е. их движение синхронное.
Итоговая кратность цикла "просто R" - 4. Не больше и не меньше.

Вернёмся к циклу F R U - тут есть наклейки посещающие 5 и 16 мест.

Соответственно, в цикле с кратностью 462 должны быть наклейки, посещающие по 21 и 22 места.

[ramon13]

Исаев, в кубике рубике есть запрет на:
1) перестановку только двух кубиков;
2) переворот только одного ребра;
3) поворот только одного угла.

Это значит, что кубики и их переворотики задают позицию однозначно.

[Isaev]

ramon13, не надо идти по пути меньшего сопротивления... тупо упереться в теорию и закрыть глаза на практику.
Я привёл конкретный пример, объясни где ошибка в рассуждениях, ведущих к этому парадоксу)
Она там по-любому есть, возможно даже очевидная, но я не понимаю её природу

[Леннон]

Может так получается потому, что этот алгоритм описывает именно передвижение кубиков, но не их развороты??
Причём в том, что получаются разные значения например (180, 0, 180) и (0, 180, 0) ничего странного нет. Т.к. кубик может быть перемещен разными маршрутами.
Напрямую - U2
Или нет - F2 L2

А насчёт разворотов.
Вообще надо учесть что кубики напрямую развернуть нельзя - этому препятствует механизм кубика (если конечно не выламывать его).
Кубики могут только сдвигаться, и лишь в результате двух или нескольких таких передвижений (например R U), может возникнуть ситуация, когда кубик стоит вроде бы на месте, однако как-то не так повернут.

Такие условные развороты можно определять относительно какого-нибудь ориентира. Например центров U и D.
Угловой кубик может иметь при этом три разных состояния - без разворота, по ч.с., и против.
Теперь посмотрим, что происходит с кубиком, когда делается R B L F - его положение относительно центра U, меняется всего четыре раза.
Без разворота => по ч.с. => против ч.с. => без разворота => по ч.с.
Однако такой подход не факт что правильный, и тоже имеет свои приколы.
Разворот кубиков относительно других ориентиров может оказаться другим!
Сделаем просто R:
Относительно центров R-L - ориентировка уголков не изменилась.
Относительно U-D, или F-B - два угла словно перевернулись по ч.с. два против ч.с.
Подобная ситуация может возникать и с реберными кубиками, в методах, где ребра могут делиться на "плохие и хорошие" - относительно одних ориентиров плохих может быть четыре, а относительно других - уже не обязательно четыре. А к примеру шесть, или два, или восемь..

Также следует признать, что даже при определении разворота по кубикам, стикеры всё таки берутся в расчёт, но только лишь в качестве сторон кубика.

[ramon13]

Развороты задаются однозначно и легко вычисляются для каждой позиции или хода. Для определенности, для углов это угол между базовым желтым/белым стикером и горизонтальной плоскостью. Для ребер это соответствие схеме ниже. На ориентацию ребер влияют только ходы R, R', L, L', поскольку они переводят стрелочки в противоположные. А вот R2 и L2 не влияют. Повороты U, U2, D, D2 вообще на ориентацию кубиков не влияют. Ход R разворачивает четыре угловых и четыре реберных, ход F разворачивает только четыре угловых. R2, F2, L2, B2 ничего не разворачивают.