Занимательная математика

[Zatamon]

А теперь докажите, что такая фигня невозможна как многогранник - где-то шестиуголдьники будут неплоские. Сие несложно

[ramon13]

что такая фигня невозможна как многогранник

Подделка, говорите? Всяко может быть... Но существование я вам строго доказал.

[Zatamon]

что такая фигня невозможна как многогранник

Подделка, говорите? Всяко может быть... Но существование я вам строго доказал.

Не знаю, не знаю, строго ли. некогда разбираться в вашем доказательстве. По-моему вы дам доказали всего лишь невозможночсть опрорвергнуть несуществование с одной какой-то стороны. Но факт, что если такой моногогранник подобен тору, то среди его граней обязаны быть  невыпкулые. И в том примере, что я видел невыпуклых немало.

[Zatamon]

Если в вершине сходица ровно три ребра, тогда

Тогда среди тех трех углов многоугольников, которые упираются в эту вершину либо есть угол больше 180 градусов либо их сумма строго меньше 360 градусов. Приехали.

[ramon13]

некогда разбираться в вашем доказательстве

Фи... Вы раньше не видели этой формулы? 3p3 + 2p4 + p5 = 6x + sum(k>=7, (k-6) pk)

Это замечательнейшая формула, понятная всем, даже школьникам и нематематикам. Из нее сразу следует строение платоновых и архимедовых тел (у которых на вершину приходится три ребра). А также что у шаров из шестиугольников должно быть всегда 12 пятиугольников (если нет 3- или 4-угольников еще). И она работает не только для сферы.

[Zatamon]

В таком виде не узнаю
Из того, что что-то там говорит об обязательном существовании определеного количества многоугольников не следует обязательность существования такого многогранника вообще. Это всего лишь "ЕСли многогранник существует, то обязательно должно быть то-то и то-то" - Этовсе, что вы доказали.
А невозможность существования многогранника с вашей картинки доказывается элементарно

[ramon13]

Есть отдельная теорема, что для любого набора pk, для которого выполняется это равенство, существует некое количество шестиугольников, чтобы это все замыкалось.



Это решение для тора из треугольников с семью вершинами. Дуальным к нему будет тор из 7 шестиугольников. Вот и нарисуйте в объеме и в развертке, покажите всем, как тор складывается из 7-ми шестиугольников. Думаю, что тор можно будет узнать лишь с трудом если вообще...

[Zatamon]

Вот это другое дело Это гуглиьтся должно по "многогранник Силаши" И грани у него, как и предсказывалось выше, есть невыпуклые
Но бывают многогранники и из выпуклых шестиугольников, но уже не тороподобные

[ramon13]

Ага, в таком виде действительно легко гуглится. Похож на исковерканный тетраэдр с дырой. Додуматься до такого самому, конечно, невозможно. А почему дуальное разбиение на шестиугольники открыли только через 29 лет после разбиения тора на треугольники??

[Zatamon]

Ага, в таком виде действительно легко гуглится. Похож на исковерканный тетраэдр с дырой. Додуматься до такого самому, конечно, невозможно. А почему дуальное разбиение на шестиугольники открыли только через 29 лет после разбиения тора на треугольники??

?
А почему ограничение на хроматическое число плоскости >=4 нашли только через 11 лет после того, как задачу придумали?

[Zatamon]

Если че, вот еще
http://dxdy.ru/topic94700.html
До тороподобного многогранника там не дошли, но двольно убедително показано, что можно несколькими способами составить многогранник из усеченных тетраэдров, замыкая их друг на друга треугольниками, чтоыб треугольников не осталось И все шестиугольники - выпуклые
Даже картика одна есть

[ramon13]

А интересно, шары из 12 пятиугольников и некоторого числа шестиугольников можно бесконечно раздувать?

[Zatamon]

А интересно, шары из 12 пятиугольников и некоторого числа шестиугольников можно бесконечно раздувать?

Смотря в каком смысле. Вообще-то да, надо только помнить, что 3 правильных шестиугольника впритык могут дать только плоский угол.... Короче, непонятно, что значит "шары"

[Николай]

Задача №15
Это головоломка моего друга Яркового Геннадия Ивановича. Она из серии танграммов. В его варианте квадрат сложен из семи подобных треугольников. Возник интересный сугубо математический вопрос: какова величина острого угла прямоугольных треугольников? Или чему равно отношение катетов? Скажу честно, точное значение угла я не нашел, хотя и составил тригонометрическое уравнение, которое тоже оказалось не по зубам. Но зато обнаружил, что меньший острый угол может принимать два значения! Удивительно!

[ramon13]

Один угол таков:

acos( sqrt( -1/3 + 1/3*(25/2 - 3/2*sqrt(69))^(1/3) + 1/3*(25/2 + 3/2*sqrt(69))^(1/3) ))
~29.6762... градусов.

Второй лень искать(