Занимательная математика

[Николай]

Задача № 17. Разрежьте фигуру на пять частей и сложите из них квадрат.

[ramon13]

Как-то лет 10 назад решил приближённо с помощью только линейки и циркуля построить угол в 1 радиан.

Квадратура круга - дело неблагодарное. Даже 60 град. - хорошее приближение к радиану.

[pytlivyj]

Квадратурой круга я тоже занимался отдельно - достиг погрешности в построении менее 1/1 000 000 площади круга.

[pytlivyj]

ramon13, в сторону увеличения числа треугольников можно продвигаться, я пробовал, получается!
А вот для пяти треугольников - нельзя! А жаль!

Этому есть вполне логическое объяснение - чем больше треугольников, тем острее угол, а чем их меньше - тем угол больше. Поэтому для 5 треугольников угол становится больше 45 градусов и отсекает внутри квадрата пятиугольник.

Пожалуй мы больше ничего хорошего не выжмем из этой темы!

Оказывается ещё можно выжать. Для того, чтобы задачу про 7 треугольников превратить в задачу про 5 треугольников, необходимо квадрат "растянуть" влево до прямоугольника. Итак,

Задача № 18: найти угол этих 5 шт. подобных треугольников и соотношение сторон прямоугольника, в который они вписаны.

[ramon13]

тому есть вполне логическое объяснение - чем больше треугольников, тем острее угол, а чем их меньше - тем угол больше. Поэтому для 5 треугольников угол становится больше 45 градусов и отсекает внутри квадрата пятиугольник.

Все таки, сложить квадрат из пяти подобных треугольников можно.
Запишем уравнение по другому:

sin(x)cos(x) + sin(x)cos3(x) + 1/sin(x)*cos5(x) = 1

x = 45 градусов, два маленьких треугольника получились равными.

[Philipp]

Вы сейчас все укладушки здесь высчитаете математически, а что конструкторы таких головоломок будут делать?
Николай недальновидно выложил задачку.

[Николай]

Вы сейчас все укладушки здесь высчитаете математически, а что конструкторы таких головоломок будут делать?
Николай недальновидно выложил задачку.

Дорогой Philipp! может быть ты и прав!
Но эта моя разработка уже опубликована в журнале "Математика в школе".
У него довольна узкая и специфическая аудитория читателей - учителей математики.
Решил чуть-чуть расширить её! Но и задачка сама по себе интересна! Как мне кажется!

[pytlivyj]

x = 45 градусов, два маленьких треугольника получились равными.

Для 45 градусов рассматривать не интересно, т. к. кол-во подобных треугольников можно автоматически сделать равным от 2-х до бесконечности. Кроме этого, ни один из катетов самого маленького треугольника при этом не лежит на одной прямой с катетом самого большого треугольника. Всё-таки нужно рассматривать треугольники как в задаче № 18.

[ramon13]

Я не виноват, 45 вылезло само из решения, если подставить гипотенузу

[ramon13]

Таак, а почему молчит Николай?

Ответ на задачу Пытливого об укладке ПЯТИ треугольников в прямоугольник.
Угол равен 36.85 град, отношение сторон 0.7872

Думаю, для школьников такое решать будет так же тяжело, разве что на информатике вместо математики, ха-ха-ха.

[Николай]

Друзья, извините! Цейтнот!
Но задачки все интересные!

А зачем долго искать? Пять треугольников Яркового образуют прямоугольники, даже два.
Тут, конечно, надо быть аккуратным, чтобы не окзалось равных треугольников!

[ramon13]

Николай, хвалю за изобретательность! Воистину колумбово решение) Но как найти самый толстенький прямоугольник, наиболее приближенный к квадрату?

[pytlivyj]

Ответ на задачу № 17:

[Николай]

Отлично, pytlivyj!
Вы нашли одно из шести известных мне решений этой задачи!

[pytlivyj]

Тут, конечно, надо быть аккуратным, чтобы не окзалось равных треугольников!

Переобозначим величину нижней стороны выделенного прямоугольника как 1 ед. и найдём величины длинных катетов вертикального одиночного треугольника (Х), первого (Y1) и второго (Y2) снизу горизонтальных треугольников. Пусть величина короткого катета второго снизу треугольника равна А, а величина короткого катета четвёртого снизу треугольника равна В.

1) для угла α1 = 34.306805124062492...ᵒ

Y1 = cos α1 = 0.826031357654... ед.
Y2 = cos² α1 = 0.682327803828... ед.
А = sin α1 * cos α1 = 0.4655712318... ед.
В = sin α1 * cos³ α1 = 0.317672196171... ед.
Х = А + В = 0.783243428... ед. - нет равных треугольников;

2) для угла α2 = 29.676233031033849...ᵒ

Y1 = cos α2 = 0.8688369618327094... ед.
Y2 = cos² α2 = 0.75487766624669298... ед.
А = sin α2 * cos α2 = 0.4301597090019466... ед.
В = sin α2 * cos³ α2 = 0.324717957244746... ед.
Х = А + В = 0.75487766624669298... ед. - вертикальный одиночный и второй снизу горизонтальный треугольники РАВНЫ!
Поэтому по условию задачи № 18 данному колумбовому решению удовлетворяет только один ответ!