Занимательная математика

[ramon13]

Проверил свое решение по методике Пытливого:

36.85.. градусов

cos(x) = 0.800...
cos2(x) = 0.640...
A = 0.480...
B = 0.307...
A+B = 0.787...

Кто даст большую величину для A+B?

[pytlivyj]

A+B = 0.787...

Кто даст большую величину для A+B?

Не будем гадать, решим математически. Обозначим величину длинного катета вертикального треугольника как Y, тогда
Y = (1 - cos⁴α)/ tg α = ctg α - (cos⁵α)/ sin α)

Производная функции:
Y' = -1/ sin²α - 5 * cos⁴α * (- sin²α)/ sin²α + cos⁵α * cos α/ sin²α = (4 *cos⁶α - 5 * cos⁴α + 1)/ sin²α

Y' = 0, т. е. (4 *cos⁶α - 5 * cos⁴α + 1) = 0

Обозначим cos²α = X.

4 * X³ - 5 * X² + 1 = 0
Это уравнение имеет 3 корня.
Х1 ˂ 0, Х2 = 1 - отбрасываем, находим Х3.
x: = x - (4 * x³ - 5 * x² + 1)/ (2 * x *(6 * x - 5)) - отсюда Х3 = 0,6403882032020756872767623199676...,
тогда α = arccos (√X3) = 36,846725738056392177... = 36⁰50'48,21"
Y = 0,787200323568759... - максимально возможная величина вертикальной стороны прямоугольника.

P. S. Искомые треугольники получились почти как ЕГИПЕТСКИЕ, только для них угол будет α = 36,869897645844... = 36⁰52'11,63" - отличается всего на 1'23,42" (!!!) от найденных, а Y = 0,7872.

[ramon13]

Y = 0,787200323568759... - максимально возможная величина вертикальной стороны прямоугольника.

Зато при соотношении 0.75 получается красивый угол и красивая новая головоломка + задачка для школьников!! Николай, берите на вооружение, любезно дарю.

Также можно заюзать число 7*sqrt(3)/16 = 0.75777222..., тоже хороший угол получается (на равенство не проверял)

[ramon13]

Задача N18

Сколько раз (в среднем!) нужно подбрасывать монетку, чтобы выпало подряд:

1) два орла?
2) сначала орел, потом решка?

Задачу можно решить как численно, используя любой язык программирования где есть датчик случайных чисел.
Так и аналитически (сложные формулы не требуются, решается просто).

zatamon, если что - пиши в личку, я знаю что ты крутой математик.

[Zatamon]

Да какой я крутой математик, так балуюсь. Только щас сюда заглянул
1. Что-то у меня 6 получилось, но это в лоб, суммируя 2 ряда
2. Потом подумаю, на входных теперь наверное

PS Понятно, что (2) меньше, щас проснулся, проверил (1) монтекарлингом, сошлось, получил
ответ монтекарлингом и для (2), как получу его аналитически ,могу ответить и в личку

[ramon13]

Zatamon правильно решил задачу, суммируя бесконечные телескопические ряды! И даже проверил на компьютере!  Поздравляем героя-математика!

Но как найти решения с полпинка, не прибегая к инфинитезималиям? Я ведь обещал, что есть простое решение!

[Zatamon]

Но как найти решения с полпинка, не прибегая к инфинитезималиям? Я ведь обещал, что есть простое решение!

Щас работа, потмо вечер пятницы, потом на крышу гаража лезть снег убирать, поэтому отвечу нескоро, но...
Полуоффтоп: по поводу тех рядов, которые я суммировал у меня есть одна идея, неоформленная, но все-таки...
Рассмотрим ряд 1*1/2 +2*1/4+3*1/8+4*1/16
С одной строны его можно суммировать так, как я суммировал те ряды и как учили в универе. С другой стороны я с годик -другой назад обнаружил, как его можно просуммировать с полпинка, но над этой идеей не думал, может и тут что похожее есть?
Рассмотрим следующую задачу: треугольник(граф), 1 вершина - дом, в другой сидит пьяный и случайно блуждает в одну из 2х сосдених вершин пока не попадет в дом. С однйо строны матожидание числа его ходов - это вышуепомянутый ряд. С другой - обозначим его x . Если он сидит в другой вершине не-в-доме, матожидание его ходов очевидно то же самое - x
Тогда на x вылазит очевидное уравнение x=1/2*1+1/2(x+1) - то есть это просто уравнение на сумму того ряда.
Вот может и тут что-то похожее есть?

[ramon13]

Короче говоря, пришел Zatamon и все решил... Да, именно такие простые уравнения, причем их можно составить априорно, ничего не зная про сложные ряды. Типа на уровне орел-решка.

[ramon13]

Обращаясь к этой задаче, постоянно ощущал, что схожу с ума, почти уже накатывали приступы безумия... Не один ли хрен, сначала орел и потом еще один, или сначала орел, а потом решка? Только-только успокоился. У (1) и (2) разная расплата за ошибку. У (1) теряется 2 хода, а у (2) только один, поэтому (2) получается быстрее.

[Zatamon]

Мне тоже сначал казалось, что один хрен. И толко когда не получилось применить рассуждения , которыми обосновывал ряды для 18.1 для обоснования 18.2 понял, что у 18.2 будет меньше, еще вчера, когад спать ложился
Эх, еле заснул вчера, не надо было поздним вечером вчера заходить на этот форум:-)

[ramon13]

Полуоффтоп: по поводу тех рядов, которые я суммировал у меня есть одна идея, неоформленная, но все-таки...
Рассмотрим ряд 1*1/2 +2*1/4+3*1/8+4*1/16
С одной строны его можно суммировать так, как я суммировал те ряды и как учили в универе. С другой стороны я с годик -другой назад обнаружил, как его можно просуммировать с полпинка, но над этой идеей не думал, может и тут что похожее есть?

Древние умели суммировать только геометрические  прогрессии, так как у них была аксиома - ежели от целого взять часть, а от той части еще часть, а потом от того что осталось еще часть, и так далее, то получим что-то очень малое, меньше любого наперед заданного конечного числа.

А вот ряд 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32... сумели просуммировать только в XIV веке. Ричард Свиноголовый мог рассуждать примерно так:

Пусть сумма ряда равна х, тогда
x = 1/2 (2 + x), где 2-ка получена суммированием геометрической прогрессии (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ..).
Отсюда x=2.

Можно посчитать еще так. Рассмотрим степенной ряд формальной переменной.
x = y (1 + 2y + 3y2 + 4y3 + ...) = y (y + y2 + y3 + y4 + ...)' = y (y/(1-y))' = y/(1-y)2
Подставляем y = 1/2, получаем x = 2

P.S. Вру, Ричард и Орем сложили ряд более наглядно, а именно как (1/2 + 1/4 + 1/8...) + (1/4 + 1/8 + 1/16...) + (1/8 + 1/16 + 1/32...) +...

[ramon13]

Задача N19.

Используя калькулятор Виндовс, определить, какая великая закономерность скрывается за неприметным с виду вещественным числом, первые цифры которого равны:

2.5665438321713888444675291063322...

[Zatamon]

20
Есть остров в виде точки
На острове находится локатор, которые посылает луч постоянной длины, вращающийся с постоянной угловой скоростью
Если корабль попадает под этот луч, он немедленно уничтожается
Кораблю надо попасть на остров.
По какой траектории ему надо двигаться, если его скорость минимально возможная для этого, и как вычислить эту минимально возможную скорость?

[Николай]

Никто не откликнулся на задачу №20.
Наверно трудная для нашего сообщества!

[Николай]

Задача №21
Это скорее интересная головоломка. Когда вы нажимаете на какой-нибудь квадрат в игровом поле nхn, то он меняет цвет, а также меняют цвет все его соседи по стороне. Цель состоит в том, чтобы поменять цвет всех квадратов на поле. Попробуйте, удачи!
Головоломка расположена по ссылке, можно реально поиграть: http://bz.var.ru/comp/web/js/floor.html
Обратите внимание: существует 13 уровней.
Для поля 3х3 квадрат перекрашивается за 5 нажатий;
Для поля 4х4 квадрат перекрашивается за 4 нажатия;
Для поля 5х5 квадрат перекрашивается за ? нажатий;
Должен признаться, что я общего алгоритма перекрашивания не придумал. Кроме этого интересно в каждом уровне найти наименьшее число нажатий для перекрашивания квадратного поля.