Занимательная математика

[ramon13]

Ответ на задачу 12

это три архимедовых тела:
4 ш 4 т (gem 8)
8 ш 6 к (gem 3,4,7)
20 ш 12 п (футбольный мяч, как указал Пытливый)

[Zatamon]

Ответ на задачу 12

это три архимедовых тела:
4 ш 4 т (gem
8 ш 6 к (gem 3,4,7)
20 ш 12 п (футбольный мяч, как указал Пытливый)

Почему 3? Чтотакое например "4 ш 4 т (gem "?
Футбольный мяч, как я уже писал не может быть решением. потому что для него работает формула Эйлера: В-Р+Г=2 То есть, если многогранник состоит из Н шестиугольников, то Г=Н, Р=6Н/2=3Н В<=6Н/3=2Н
Отсюда В-Р+Г<=2Н-3Н+Н=0 , не может быть 2

PS Кстати, не стесняйтесь погуглить, эта задача почти моя (а задача 13 совсем моя) , она только единожды успешно в интеренете обсуждалась, маловероятно, что вы на нее нарветесь, скорее наткнетесь на доказательство того, что формула эйлера доказывает, что это невозможно

[ramon13]

Zatamon, какой вы придира, просто кошмар!!! Очевидно ведь:

1) Усеченный тетраэдр. Четыре шестиугольника и 4 треугольника.
2) Усеченный октаэдр. Восемь шестиугольников и 6 квадратов.
3) Усеченный икосаэдр. 20 шестиугольников и 12 пятиугольников.

Если в этих архимедовых телах оставить только шестиугольные грани и дыры в виде остальных многоугольников, получим требуемые шестиугольные многогранники с дырами.

[Zatamon]

Zatamon, какой вы придира, просто кошмар!!! Очевидно ведь:

1) Усеченный тетраэдр. Четыре шестиугольника и 4 треугольника.
2) Усеченный октаэдр. Восемь шестиугольников и 6 квадратов.
3) Усеченный икосаэдр. 20 шестиугольников и 12 пятиугольников.

Если в этих архимедовых телах оставить только шестиугольные грани и дыры в виде остальных многоугольников, получим требуемые шестиугольные многогранники с дырами.

4 треугольника - я просил только из шестиугольников
Под дырами вы неправильно понимаете. убрать грань - это не дыра, а ликвидация многогранника. Тела должны ьбыть нормально замкнуты, иметь объем и , желательно, без самопересечений

[ramon13]

Эти архимедовы тела не развалятся при ликвидации нешестиугольных граней. Вот вам и дыры.

[Zatamon]

Эти архимедовы тела не развалятся при ликвидации нешестиугольных граней. Вот вам и дыры.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA

Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве, такая, что:

каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

При оиквидации этих граней это условие не будет выполняться, так что это больше не будет многогранником. Единичый шестиугольник ведь тоже не развалится, разве он - многогранник?

[ramon13]

Возьмем бумажные модели тетраэдра, октаэдра, икосаэдра. Усечем их. Они не развалятся. Вот вам твердые тела с дырами и шестиугольниками.

[Zatamon]

Возьмем бумажные модели тетраэдра, октаэдра, икосаэдра. Усечем их. Они не развалятся. Вот вам твердые тела с дырами и шестиугольниками.

Многогранниками от усечения они быть перестанут. А я просил многогранник

[ramon13]

А вашему многограннику от его дыр плохо не становится?

[Zatamon]

А вашему многограннику от его дыр плохо не становится?

Вы сейчас о чем?
Ок, забудьте мое слово "дырявый" Я просто спрашиваю вас попстролить многогранник все грани которого - шестиугольники
Ну, или давайте по-другому скажем. Вот есть формула В-Р+Г=2  Я думаю, вы понимаете, что она не для всех многогранников валидна а толко для тех, чей граф "вершины-ребра" расположим на плоскости, в частности ограньте тор (только честно, чтобы тот граф был связен) и для такого многогранника В-Р+Г должно быть  равно 0. Самая простая огранка, что я вижу, это 9 4угольных граней, у которой в каждой вершине сходится 4 ребра. Получаем Г=9, Р=18, В=9 Тор по вашему дырок не имеет?

[ramon13]

Так оказывается, вам нужны многогранники, топологически равные гирям с ручками? Никогда таких не видел

[Zatamon]

Так оказывается, вам нужны многогранники, топологически равные гирям с ручками? Никогда таких не видел

Мгне неважно какие. Я просто предупреждаю, что иные невозможны и если будут доказательства невозможности, исходящие из выпуклости или формылы эйлера я просто предупредил, что не приму
Более того, у самого простого такого многогранника, что я до недавнего времени знал вроде как В+Г-Р=-10, но я что-то сомневаюсь в его топологической эквивалентности гире с шестью ручками

[ramon13]

вот как раз сферы с ручками и есть решение вашей задачи!!!

Если в вершине сходица ровно три ребра, тогда для любого многогранника:

3p3 + 2p4 + p5 = 6x + sum(k>=7, (k-6) pk)

p3 - число треугольников,
p4 - число квадратов,
p5 - число пятиугольников,
pk - число k-угольников,
x - эйлерова характеристика

для сферы x=2;
для сферы с одной ручкой x=0;
для сферы с двумя ручками x=-2;
для сферы с тремя ручками x=-4

формула про число шестиугольников ничего не говорит, но существует (может, даже не одно) количество шестиугольников, чтобы достроить любой набор pk.

Решаем:
1) 0 = 0 - это значит тор можно огранить шестиугольниками;
2) 0 = -12 + 2p8, p8=6 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и шестью восьмиугольниками;
3) 0 = -12 + 1p7, p7=12 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двенадцатью семиугольниками;
...
4) 0 = -12 + 6p12, p12=2 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двумя двенадцатиугольниками;
5) 0 = -12 + 12p18, p18=1 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и одним восемнадцатиугольником;

 

[Zatamon]

вот как раз сферы с ручками и есть решение вашей задачи!!!

Ну, как сказать. Как по вашему, если взять граф из 5 точек, в котором каждая вершина соединена с каждой и чуть расширить точки и ребра, чтобы получилось объемное тело - это будет сфера с ручками? Вообще-то жэтот граф нерасположим на плоскости

Если в вершине сходица ровно три ребра

А если не 3?

1) 0 = 0 - это значит тор можно огранить шестиугольниками;
2) 0 = -12 + 2p8, p8=6 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и шестью восьмиугольниками;
3) 0 = -12 + 1p7, p7=12 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двенадцатью семиугольниками;
...
4) 0 = -12 + 6p12, p12=2 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и двумя двенадцатиугольниками;
5) 0 = -12 + 12p18, p18=1 - это значит, двойной тор можно огранить шестиугольниками и одним восемнадцатиугольником;

Ну, я вижу, вы какой-то минимализм вычислили. Это хорошо, но примеров не вижу.

Кстати, я только сегодня случайно нагуглил, что и правда существует подобный тору многогранник толко из шестиугольников, но описать или нарисовать его - увольте.  А известные мне жо этого примеры описывались словами.

[ramon13]